# 衍射

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-diffraction/

本模块讲解波的衍射、单缝衍射图样的结构、暗纹位置公式，以及缝宽和波长变化对衍射的影响，是学习衍射光栅的基础内容。

**先修:** [波的性质与叠加](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-principles-of-superposition/)

## 学习目标

- 定义衍射并确定其最显著的发生条件
- 描述单缝衍射图样的强度分布
- 记忆并使用单缝衍射极小位置的公式
- 解释缝宽和波长的变化如何影响衍射图样

## 1. 什么是衍射？

**衍射** — 波穿过孔径或绕过障碍物时发生的弯曲或扩散现象，所有类型的波都会发生衍射。

*例:* 声波在门口发生衍射，让你能听到另一个房间的声音。

衍射效应最显著的时候，是孔径或障碍物的尺寸与入射波的波长近似相等（相近）时。

> **info**
>
> 如果孔径远大于波长，几乎不会发生衍射，波近似沿直线传播。如果孔径远小于波长，大部分波会被阻挡，只有很少部分能穿过。

**例题:** 海港墙开了一个宽度 1 m 的缺口，以下哪种波衍射程度最大：无线电波 ($\lambda = 100$ m), 声波 ($\lambda = 1$ m), 可见光 ($\lambda = 5 \times 10^{-7}$ m)?

1. 记住：当孔径宽度与波的波长近似相等时，衍射效应最显著。
2. 将每种波长与 1 m 的缺口进行比较：
3. $$100 \text{ m} \gg 1 \text{ m}, \quad 1 \text{ m} \approx 1 \text{ m}, \quad 5 \times 10^{-7} \text{ m} \ll 1 \text{ m}$$
4. 声波的波长最接近孔径宽度，因此它们衍射程度最大。

## 2. 单缝衍射公式

当单色光穿过狭窄单缝投射到远处的光屏上时，会形成衍射图样：中间是宽而亮的中央主极大，两侧是更暗、更窄的次级极大，极大之间由暗的极小值（强度为零）隔开。

**第n级极小值** — 距离图样中心的第n个强度为零的点，第一极小值的位置决定了中央主极大的宽度。

第n级极小值的角位置由以下公式给出：

$$a \sin\theta = n \lambda$$

Where $a$ = 缝宽，$\theta$ = 从中央线到第n级极小值的角度，$n = 1,2,3...$ = 极小值的级数，$\lambda$ = 入射光的波长。对于小角度（当光屏距离很远时），$\sin\theta \approx \frac{y}{D}$，因此公式可近似为：

$$a y = n \lambda D$$

此处，$y$ = 第n级极小值到图样中心的距离，$D$ = 单缝到光屏的距离。

**例题:** 宽度为 0.1 mm 的单缝被波长 650 nm 的红光照射，光屏放置在距离单缝 2.0 m 处，计算中央主极大到第一级极小值的距离。

1. 将所有值转换为国际单位制：
2. $$a = 0.1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-4} \text{ m}, \quad \lambda = 650 \text{ nm} = 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}, \quad D = 2.0 \text{ m}, \quad n = 1$$
3. 整理小角度公式得到 $y$：
4. $$y = \frac{n \lambda D}{a}$$
5. 代入数值：
6. $$y = \frac{1 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 2.0}{1 \times 10^{-4}} = 1.3 \times 10^{-2} \text{ m} = 13 \text{ mm}$$
7. 最终答案：距离为 13 mm（或 0.013 m）

> **exam_tip**
>
> 代入公式前一定要将所有单位转换为国际单位制（米），这是计算中最常见的错误。

## 3. 缝宽和波长变化的影响

中央主极大的宽度 $W$ 是中心到第一极小值（$n=1$）距离的两倍，因此从小角度公式可得：

$$W = \frac{2 \lambda D}{a}$$

1. 如果缝宽 $a$ **减小**：$W$ 增大，中央主极大变宽，所有极大间距变大，由于穿过的光更少，总强度降低。
2. 如果缝宽 $a$ **增大**：$W$ 减小，中央主极大变窄，所有极大间距变小，总强度升高。
3. 如果波长 $\lambda$ **增大**：$W$ 增大，因此相同缝宽下红光产生的衍射图样比蓝光更宽。
4. 如果波长 $\lambda$ **减小**：$W$ 减小，中央主极大变窄。

**例题:** 波长 450 nm 的蓝光在光屏上产生宽度为 10 cm 的中央主极大。如果缝宽减半、波长加倍，新的中央主极大宽度是多少？

1. We know that $W \propto \frac{\lambda}{a}$ from the formula $W = \frac{2 \lambda D}{a}$.
2. New values: $\lambda' = 2\lambda$, $a' = \frac{a}{2}$
3. $$W' = \frac{2 \lambda' D}{a'} = \frac{2 (2\lambda) D}{a/2} = 4 \times \frac{2 \lambda D}{a} = 4W$$
4. Original $W = 10$ cm, so new $W' = 4 \times 10 = 40$ cm

## 4. 强度分布

远离中心方向，极大的强度迅速下降，相对强度如下表所示：

| 极大位置 | 相对强度 |
| --- | --- |
| 中央主极大 | 100% |
| 第一级次级极大 | ~4% |
| 第二级次级极大 | ~1.6% |

**概念自测**

测试你的理解

1. 以下哪种变化会增大中央主极大的宽度？

   - 减小缝宽
   - 减小波长
   - 增大缝宽
   - 增大单缝到光屏的距离

   *解析:* From $W = \frac{2 \lambda D}{a}$, width increases when $D$ increases or $a$ decreases. Correct answer is the two options above.

## 常见错误

- **错误做法:** 将单缝公式与双缝公式混淆
  - 原因: 两者都含有 $n\lambda$，但描述不同现象，变量含义也不同
  - 正确做法: 记住：$a \sin\theta = n\lambda$ = 单缝极小值公式，$d \sin\theta = n\lambda$ = 双缝/光栅极大值公式
- **错误做法:** 计算时保留波长单位为nm或缝宽单位为mm
  - 原因: 这会导致结果差几个数量级
  - 正确做法: 代入前始终将所有长度转换为国际单位制（米）
- **错误做法:** 认为只有孔径尺寸等于波长时才会发生衍射
  - 原因: 所有孔径尺寸下都会发生衍射，只是当孔径尺寸与波长相近时衍射最显著
  - 正确做法: 当孔径尺寸与波长在同一个数量级内时，衍射效应显著
- **错误做法:** 认为增大缝宽会增强衍射
  - 原因: 更宽的孔径产生的衍射更少，更窄的孔径产生的衍射更多
  - 正确做法: 缝宽越小，衍射图样越宽，意味着衍射效应越强
- **错误做法:** 使用 $a \sin\theta = n\lambda$ 计算极大位置
  - 原因: 该公式只给出极小值位置，不是极大值
  - 正确做法: 极大值近似位于相邻两个极小值的中点，需要时可通过极小位置计算得到

## 速查表

| 关系 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 衍射最显著 | $a \approx \lambda$ | 孔径宽度与波长相近 |
| 第n级极小位置 | $a \sin\theta = n\lambda$ | $n = 1, 2, 3...$ |
| 小角度近似 | $y = \frac{n \lambda D}{a}$ | $y$ = 到极小的距离，$D$ = 单缝到光屏距离 |
| 中央主极大宽度 | $W = \frac{2 \lambda D}{a}$ | 是到第一极小距离的两倍 |
| 减小缝宽 $a$ | $W \propto \frac{1}{a}$ | W 增大，强度降低 |
| 增大波长 $\lambda$ | $W \propto \lambda$ | W 增大 |

## 下一步

衍射是波的基本性质，是叠加模块后续主题的基础，最重要的就是衍射光栅，这是CIE A-Level物理考试中非常常见的考点。理解单缝衍射也能帮助你区分衍射效应和多缝干涉，这是选择题中常见的易错点。衍射原理也用于涉及波粒二象性的主题，因此掌握本子主题有助于你学习大纲中后续内容。

- [衍射光栅](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-diffraction-grating/)
- [电流电学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u9-overview/)
- [电流](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u9-electric-current/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-diffraction/