# 波强度

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u7-wave-intensity/

本子主题定义了波强度，解释了它与波振幅的比例关系，并介绍了点源强度的平方反比定律。你将学习求解CIE A-Level物理考试中经常出现的常见比例问题。

**先修:** [基础波性质（振幅、功率、能量）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u7-basic-wave-properties/)

## 学习目标

- 定义波强度，并说明它与波振幅的关系
- 对点波源应用强度的平方反比定律
- 求解涉及振幅和距离同时变化的综合问题

## 定义与强度-振幅关系

**波强度** — 波在垂直于传播方向的单位横截面积上传输的功率，测量单位为瓦每平方米（$\text{Wm}^{-2}$）

*记法:* $I$

*例:* 到达地球表面的太阳光强度约为1360 $\text{Wm}^{-2}$

波携带的能量与位移振幅的平方成正比。由于强度是单位时间单位面积的能量，因此我们得到关键的比例关系：

$$I \propto A^2$$

这意味着如果振幅加倍，强度会增加$2^2 = 4$倍。我们可以对两个同类型波写出比例式：

**例题:** 一个波的振幅为$2.0 \, \text{cm}$，强度为$12 \, \text{Wm}^{-2}$。当振幅增加到$3.0 \, \text{cm}$时，强度是多少？

1. 从强度和振幅的比例关系开始：

   $$\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2$$
2. 整理公式求解新强度$I_2$，代入已知值：

   $$I_2 = I_1 \left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2 = 12 \times \left(\frac{3.0}{2.0}\right)^2$$
3. 计算最终结果：

   $$I_2 = 12 \times 2.25 = 27 \, \text{Wm}^{-2}$$

> **考试提示:** 永远记住强度与振幅的平方成正比，而非与振幅成正比。这是本主题最常见的错误。

## 点源的平方反比定律

**平方反比定律** — 对于向所有方向均匀发射恒定功率的各向同性点源，强度与到点源距离的平方成反比

*记法:* $I \propto 1/r^2$

*例:* 如果到灯泡的距离变为原来的四倍，强度会下降到原来的1/16

点源发出的功率均匀分布在半径为$r$的膨胀球面上。球面的表面积为$4\pi r^2$，因此强度计算公式为：

$$I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi r^2}$$

由于稳定源的总功率$P$是恒定的，因此$I \propto 1/r^2$，得到比例关系：

$$\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$$

**例题:** 一个小型扬声器向所有方向均匀发射声波。在距离扬声器2.0 m处，强度为$1.6 \times 10^{-4} \, \text{Wm}^{-2}$。在距离扬声器8.0 m处，强度是多少？

1. 应用平方反比定律比例式：

   $$\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$$
2. 整理公式得到新强度$I_2$：

   $$I_2 = I_1 \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$$
3. 代入已知值：

   $$I_2 = 1.6 \times 10^{-4} \times \left(\frac{2.0}{8.0}\right)^2 = 1.6 \times 10^{-4} \times \frac{1}{16}$$
4. 最终结果：

   $$I_2 = 1.0 \times 10^{-5} \, \text{Wm}^{-2}$$

> **info**
>
> 平方反比定律仅适用于介质不存在波的吸收或反射的情况。如果题目中提到了吸收，需要单独考虑。

## 强度综合问题

大多数结构化考试题目需要结合两个比例关系：强度同时取决于振幅平方和距离的平方反比。综合关系为：

$$I \propto \frac{A^2}{r^2}$$

当振幅和距离同时变化，或者比较两个不同源的强度时，就会用到这个关系。两个源的比例形式为：

$$\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$$

**例题:** 源A在距离$r$处发射振幅为$A$的声波，强度为$I$。源B的振幅是A的两倍，到观测者的距离是A的三倍。用$I$表示源B的强度是多少？

1. 写出两个源的比例关系，$k$为常数：

   $$I_A = k \frac{A_A^2}{r_A^2}, \quad I_B = k \frac{A_B^2}{r_B^2}$$
2. 做除法消去常数$k$：

   $$\frac{I_B}{I_A} = \left(\frac{A_B}{A_A}\right)^2 \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$$
3. 代入$A_B = 2A_A$，$r_B = 3r_A$，$I_A = I$：

   $$I_B = I \times (2)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = I \times 4 \times \frac{1}{9}$$
4. 最终结果：

   $$I_B = \frac{4}{9}I$$

> **考试提示:** 计算比例时，一定要标记清楚每个量对应哪个源，避免不小心弄混距离或振幅。

## 常见错误

- **错误做法:** 写$I \propto A$而不是$I \propto A^2$
  - 原因: 这是记错关系导致的最常见错误。波能量与振幅平方成正比，因此强度也和振幅平方成正比。
  - 正确做法: 记住强度与波振幅的平方成正比：振幅加倍，强度变为原来的四倍。
- **错误做法:** 对平面波或非点源应用平方反比定律
  - 原因: 平方反比定律仅适用于功率分布在不断膨胀的球面上的情况。
  - 正确做法: 仅当题目确认是各向同性点源时，才使用$I \propto 1/r^2$。
- **错误做法:** 弄混距离比例：写$I_1/I_2 = (r_1/r_2)^2$
  - 原因: 强度随距离增大而减小，因此比例是倒置的。
  - 正确做法: 记住：距离越远强度越低，因此$\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$。
- **错误做法:** 题目只突出振幅变化时，忘记$1/r^2$因子
  - 原因: 考题经常包含隐藏的距离变化，来测试你是否还记得两个关系。
  - 正确做法: 一定要检查题目是否提到源的距离变化，并包含平方反比因子。

## 速查表

| 关系 | 公式 | 使用场景 |
| --- | --- | --- |
| 强度与振幅 | $I \propto A^2$, $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2$ | 波振幅变化 |
| 平方反比定律 | $I \propto 1/r^2$, $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$ | 点源，距离变化 |
| 综合关系 | $I \propto \frac{A^2}{r^2}$, $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$ | 振幅和距离同时变化 |
| 强度定义 | $I = \frac{P}{A}$, 单位 $\text{Wm}^{-2}$ | 由功率/面积计算强度 |

## 下一步

掌握波强度能帮你在CIE A-Level物理中轻松拿分，因为强度比例题在选择题和结构化试卷中都经常出现。这个概念是理解后续很多主题的基础，包括驻波、光衍射、电磁辐射和光电效应。你在这里学到的比例关系也会在量子物理中用来关联光子通量和辐射强度。接下来，你可以继续学习波单元的下一个子主题，或者为后续课程学习电磁波打好基础。

- [波的偏振](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u7-polarisation/)
- [波的叠加](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-overview/)
- [波的叠加原理](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-principle-of-superposition/)

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