# 运动声源的多普勒效应

> 物理 · CIE A-Level 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u7-doppler-effect-for-a-moving/

我们将讲解运动声源产生多普勒频移的物理本质、正式的频率公式推导、面向考试的解题方法，以及评分标准要求的物理解释要点。

**先修:** [波的性质：频率、波长、波速的关系](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u7-properties-of-waves/); [基础一维相对运动运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-relative-motion/)

## 学习目标

- 定义运动声源发出的声波的多普勒效应
- 推导声源朝向或远离静止观察者运动时的观测频率公式
- 求解涉及声源速度、声速、发射频率和观测频率的定量问题
- 在考试答案中给出符合评分标准要求的频移物理解释

## 频移的物理本质

当声源朝向静止观察者运动时，每一个后续波前的发射位置都比前一个波前更靠近观察者。这会压缩波前之间的间距，减小观测到的波长，提升探测到的频率。

如果声源远离观察者运动，每一个新波前的发射位置都比上一个更远，拉伸波长，降低观测到的频率。

**运动声源的多普勒效应** — 当声源沿其与静止观察者的连线运动时，发射的波前发生压缩或稀疏，导致观测到的声频率出现视在偏移的现象

> **info**
>
> 横向运动（声源沿视线垂直方向运动）不会产生可测量的声波多普勒频移，因为波前间距保持不变。

**概念自测**

测试你的基础理解：

1. 警报器直接朝你运动，你听到的音调会发生什么变化？

   - 升高
   - 降低
   - 保持不变

   *解析:* 被压缩的波前提升了观测频率，因此音调升高。

2. 声源沿与你位置垂直的方向运动，观测频率会发生什么变化？

   - 急剧升高
   - 无测量得到的偏移
   - 急剧降低

   *解析:* 声源和观察者连线上没有相对运动，意味着波长没有变化。

## 频率公式的推导

**推导:** 推导运动声源的观测频率

*起点:* 静止空气中的声速 = $v$，声源速度 = $v_s$，声源发射频率 = $f_0$

1. 发射波的周期：$T = 1/f_0$
2. 在一个周期内，声源向观察者方向运动的距离为$v_s T = v_s / f_0$
3. 原始未偏移波长：$\lambda_0 = v / f_0$
4. 靠近观察者的声源产生的新压缩波长：$\lambda_o = \lambda_0 - v_s / f_0 = (v - v_s)/f_0$
5. 观测频率：$f_o = v / \lambda_o = f_0 \times v / (v - v_s)$
6. 对于远离观察者的声源，在原始波长上加上$v_s / f_0$，得到$f_o = f_0 \times v / (v + v_s)$

*结论:* 分母中的符号仅由运动方向决定：声源靠近时取减号，远离时取加号。

**例题:** 一个发射500 Hz音调的警报器以20 m/s的速度朝向静止观察者运动，空气中的声速为340 m/s，计算观测到的频率。

1. 确认声源朝向观察者运动，因此分母使用减号
2. $$f_o = 500 \times \frac{340}{340 - 20}$$
3. 化简分母：340 - 20 = 320 m/s
4. $$f_o = 500 \times 1.0625 = 531.25 \text{ Hz}$$
5. 保留3位有效数字：531 Hz

## 面向考试的解题技巧

**考试命令词**

CIE 9702 针对这类题目使用特定的指令术语，请注意它们对应的作答要求：

- **Show that** — 你必须显式代入所有给定数值，不能跳过任何算术步骤 *(证明观测频率约为530 Hz)*

- **Calculate** — 最终答案保留2或3位有效数字，附带Hz单位

- **Explain** — 需要提及波前的压缩/稀疏，不能仅陈述频率升高或降低

> **tip**
>
> 几乎总有1个独立分值专门用于考察你是否在分母中选择了正确的+或-号，因此代入数值前务必再次核对声源的运动方向。

**例题:** 一列火车以35 m/s的速度远离车站站台运动，鸣笛的频率为1200 Hz，声速为330 m/s，求站台上站立的乘客观测到的频率。

1. 确认声源正在远离观察者，因此分母使用加号
2. $$f_o = 1200 \times \frac{330}{330 + 35}$$
3. 化简分母：330 + 35 = 365 m/s
4. $$f_o = 1200 \times 0.9041 = 1085 \text{ Hz}$$
5. 保留3位有效数字：1090 Hz

## 常见的声波多普勒应用

运动声源的声波多普勒效应被大量应用于多个真实场景，这些场景经常出现在CIE的情境类题目中。

- 通过反射声波的频移测量血流速度的医学超声扫描仪
- 利用声波反射测量移动车辆速度的测速设备
- 紧急警报器的音调变化，提醒驾驶员有紧急车辆正在靠近或远离

> **note**
>
> 与光的多普勒频移不同，声波多普勒频移取决于哪一个物体相对于空气介质运动，因此你不能将相对论红移公式用于声波问题。

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆运动声源和运动观察者的公式
  - 原因: 两种情况的物理推导过程不同，混用会得到错误的频移大小
  - 正确做法: 选择公式前明确确认是声源还是观察者在运动
- **错误做法:** 朝向观察者运动的声源在分母中使用 $v + v_s$
  - 原因: 朝向观察者运动的声源会压缩波长，因此分母必须小于 $v$ 才能得到更高的观测频率
  - 正确做法: 声源靠近时使用 $v - v_s$，声源远离时使用 $v + v_s$
- **错误做法:** 声称频移来自声速的变化
  - 原因: 恒温下静止空气中的声速是恒定的，频移完全来自波前间距的变化
  - 正确做法: 所有解释类作答都必须明确提及波长被压缩或拉伸
- **错误做法:** 最终答案仅保留1位有效数字
  - 原因: CIE评分标准要求所有计算类题目答案保留2或3位有效数字，1位有效数字会丢失最终的精度分值
  - 正确做法: 除非题目另有说明，所有频率的最终答案都保留3位有效数字
- **错误做法:** 最终频率答案遗漏Hz单位
  - 原因: 几乎所有9702的计算类题目中，遗漏单位都会丢失1个独立分值
  - 正确做法: 算出最终数值后立刻补上Hz单位

## 速查表

| 场景 | 公式 | 关键考试注意事项 |
| --- | --- | --- |
| 声源朝向静止观察者运动 | $f_o = f_0 \frac{v}{v - v_s}$ | $f_o > f_0$，分母小于 $v$ |
| 声源远离静止观察者运动 | $f_o = f_0 \frac{v}{v + v_s}$ | $f_o < f_0$，分母大于 $v$ |
| 标准声速取值 | $v = 330 - 340$ m/s | 使用题目给出的数值，不要使用记忆中的数值 |

## 下一步

掌握运动声源的多普勒效应是CIE 9702 A-Level物理的核心要求，该知识点是后续A2拓展内容的基础，包括天体物理中用到的电磁波多普勒红移，以及经常出现在第4卷的声源-观察者同时相对运动的综合问题。你还需要将频移的相关知识应用到实验数据分析题中，这类题目会考察你如何通过测得的频率值计算未知的声源速度。在继续学习之前，请确保你能完全区分运动声源和运动观察者两种场景，混淆这两种情况是考试中失分的最常见原因。

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