应力、应变和杨氏模量

物理学· 40 分钟阅读

1. 核心定义：应力与应变★★☆☆☆⏱ 10 min

当力使材料变形时，应力和应变将力的效果按样品尺寸归一化，从而可以比较相同材料不同尺寸物体的性质。

📘 定义

拉应力

\sigma

垂直作用于样品表面的单位横截面上的拉伸力。

例:

$σ = \frac{F}{A}$ where $F$ = 拉伸力, $A$ = 横截面积. Units: Pascals (Pa) = Nm⁻².

📘 定义

拉应变

\varepsilon

材料单位原长的伸长量。应变是无量纲量，因为它是两个长度的比值。

例:

$ε = \frac{Δ L}{L _{0}}$ where $Δ L$ = 伸长量, $L_{0}$ = 原长.

📐 例题

一根长2.0 m、直径0.5 mm的钢丝受到100 N的拉力，伸长量为2.4 mm。计算钢丝的应力和应变。

1
首先计算钢丝的横截面积：
2
$A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{0.5 \times 10^{-3}}{2}\right)^2 = 1.963 \times 10^{-7} \text{ m}^2$
3
使用 $σ = F / A$ 计算应力：
4
$\sigma = \frac{100}{1.963 \times 10^{-7}} = 5.1 \times 10^8 \text{ Pa}$
5
将伸长量转换为米，再计算应变：
6
$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{2.4 \times 10^{-3}}{2.0} = 1.2 \times 10^{-3}$

2. 杨氏模量：定义与计算★★☆☆☆⏱ 12 min

杨氏模量是描述材料刚度的强度性质：杨氏模量越大，材料越硬，在给定应力下变形越小。

📘 定义

杨氏模量

E

拉应力与拉应变的比值，适用于遵循胡克定律的弹性变形。

例:

$E = \frac{σ}{ε} = \frac{F L _{0}}{A Δ L}$ . Units are Pa, same as stress.

📐 例题

使用上一个例题中的应力和应变值计算钢丝的杨氏模量。

1
我们已经得到 $σ = 5.1 \times 1 0^{8}$ Pa 和 $ε = 1.2 \times 1 0^{- 3}$ ，代入杨氏模量公式：
2
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{5.1 \times 10^8}{1.2 \times 10^{-3}} = 4.25 \times 10^{11} \text{ Pa} \approx 4.3 \times 10^{11} \text{ Pa}$
3
检查单位：应变是无量纲量，因此E的单位和应力相同，结果正确。

3. 杨氏模量的实验测定★★★☆☆⏱ 15 min

CIE考试经常出5-6分的题目描述该实验，因此你需要记住实验方法、测量量和减小误差的步骤。

将长金属丝夹紧在刚性支架上，沿金属丝旁固定一把直尺。
在自由端添加已知质量的砝码，测量每个砝码对应的伸长量。
用米尺测量从夹具到金属丝上标记点的原长 $L_{0}$ 。
用千分尺在金属丝多个位置测量直径，计算平均直径。
绘制力 $F$ 对伸长量 $Δ L$ 的图像，求斜率 $m = F /Δ L$ 。
用公式 $E = \frac{m L _{0}}{A}$ 计算杨氏模量，其中 $A = π (d /2)^{2}$ 。

📐 例题

一名学生在 $F$ vs $Δ L$ 图像中得到斜率为 $8.0 \times 1 0^{4}$ Nm⁻¹，金属丝原长1.5 m，平均直径0.60 mm，计算杨氏模量。

1
先计算横截面积，将直径转换为米：
2
$A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0.60 \times 10^{-3}}{2}\right)^2 = 2.827 \times 10^{-7} \text{ m}^2$
3
代入由图像斜率求E的公式：
4
$E = \frac{m L_0}{A} = \frac{8.0 \times 10^4 \times 1.5}{2.827 \times 10^{-7}} = 4.2 \times 10^{11} \text{ Pa}$

4. 应力-应变图像的性质★★★☆☆⏱ 10 min

弹性区域内应力-应变图像的斜率等于杨氏模量，因为梯度 = $Δ σ /Δ ε = E$ ，这是常见的考点。

📐 例题

铝的应力-应变曲线弹性区域的斜率为 $7.0 \times 1 0^{10}$ Pa，铝的杨氏模量是多少？

1
根据定义，弹性区域内应力-应变曲线的斜率等于杨氏模量。
2
因此，铝的杨氏模量为 $7.0 \times 1 0^{10}$ Pa。

5. 常见陷阱

错误做法:

计算前忘记将直径/伸长量的单位从毫米转换为米。

原因:

这会导致杨氏模量的结果偏大或偏小10⁶倍，是考试中常见错误。

正确做法:

代入公式前，始终将所有长度测量值转换为SI单位（米）。

错误做法:

将横截面积计算为 $π d^{2}$ instead of $π (d /2)^{2}$ 。

原因:

大多数学生直接测量直径，忘记在面积公式中转换为半径。

正确做法:

计算面积前，始终将直径除以2得到半径。

错误做法:

认为杨氏模量取决于样品的长度或横截面积。

原因:

学生混淆了与样品尺寸相关的伸长量和已经归一化的应变。

正确做法:

记住杨氏模量是材料本身的强度性质，和样品尺寸无关。

错误做法:

给应变赋予米的单位。

原因:

应变是两个长度的比值，学生错误地添加了单位。

正确做法:

应变是无量纲量，没有单位。

错误做法:

在超过弹性极限的变形中使用杨氏模量公式。

原因:

塑性变形开始后，应力不再和应变成正比。

正确做法:

仅在遵循胡克定律的弹性变形中使用 $E = σ / ε$ 。

6. 速查表

物理量	符号	公式	单位
拉应力	$σ$	$σ = F / A$	Pa (Nm⁻²)
拉应变	$ε$	$ε = Δ L / L_{0}$	无量纲
杨氏模量	$E$	$E = (F L_{0}) / (A Δ L)$	Pa (Nm⁻²)
应力-应变图求E	$E$	弹性区域的斜率	Pa
F-ΔL图求E	$E$	$E = (m L_{0}) / A$ , $m = F /Δ L$	Pa

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 1
杨氏模量计算选择题
2022 · 2
6分实验描述题
2021 · 1
应力-应变斜率问题

下一步

掌握应力、应变和杨氏模量是CIE A-Level物理中所有固体形变后续学习的基础。这些概念用于分类不同材料的力学行为，计算变形固体的弹性势能，解答工程应用中关于材料性质的结构化问题。你将基于这些定义解读完整的应力-应变曲线，识别弹性极限、屈服点和极限抗拉强度等关键点，这些都是选择题和扩展回答题中的常见考点。