# 应力、应变和杨氏模量

> 物理学 · CIE A-Level 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-stress-strain-and-young-modulus/

本模块介绍描述材料受力变形的核心概念。你将学习CIE A-Level物理中应力、应变和杨氏模量的定义、计算方法、实验技术和结果解读。

**先修:** [胡克定律和弹性变形](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-hookes-law/); SI单位和不确定度分析

## 学习目标

- 正确定义拉应力、拉应变和杨氏模量，掌握其正确单位
- 根据实验力和伸长量数据计算杨氏模量
- 描述CIE要求的杨氏模量测量实验
- 从应力-应变关系解读材料的关键性质

## 核心定义：应力与应变

当力使材料变形时，应力和应变将力的效果按样品尺寸归一化，从而可以比较相同材料不同尺寸物体的性质。

**拉应力** — 垂直作用于样品表面的单位横截面上的拉伸力。

*记法:* \sigma

*例:* $\sigma = \frac{F}{A}$ where $F$ = 拉伸力, $A$ = 横截面积. Units: Pascals (Pa) = Nm⁻².

**拉应变** — 材料单位原长的伸长量。应变是无量纲量，因为它是两个长度的比值。

*记法:* \varepsilon

*例:* $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$ where $\Delta L$ = 伸长量, $L_0$ = 原长.

**例题:** 一根长2.0 m、直径0.5 mm的钢丝受到100 N的拉力，伸长量为2.4 mm。计算钢丝的应力和应变。

1. 首先计算钢丝的横截面积：
2. $$A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{0.5 \times 10^{-3}}{2}\right)^2 = 1.963 \times 10^{-7} \text{ m}^2$$
3. 使用$\sigma = F/A$计算应力：
4. $$\sigma = \frac{100}{1.963 \times 10^{-7}} = 5.1 \times 10^8 \text{ Pa}$$
5. 将伸长量转换为米，再计算应变：
6. $$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{2.4 \times 10^{-3}}{2.0} = 1.2 \times 10^{-3}$$

## 杨氏模量：定义与计算

杨氏模量是描述材料刚度的强度性质：杨氏模量越大，材料越硬，在给定应力下变形越小。

**杨氏模量** — 拉应力与拉应变的比值，适用于遵循胡克定律的弹性变形。

*记法:* E

*例:* $E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{F L_0}{A \Delta L}$. Units are Pa, same as stress.

> **tip**
>
> 杨氏模量仅描述弹性变形。如果材料发生塑性变形（撤去力后无法恢复原形状），该关系不再适用。

**例题:** 使用上一个例题中的应力和应变值计算钢丝的杨氏模量。

1. 我们已经得到$\sigma = 5.1 \times 10^8$ Pa 和 $\varepsilon = 1.2 \times 10^{-3}$，代入杨氏模量公式：
2. $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{5.1 \times 10^8}{1.2 \times 10^{-3}} = 4.25 \times 10^{11} \text{ Pa} \approx 4.3 \times 10^{11} \text{ Pa}$$
3. 检查单位：应变是无量纲量，因此E的单位和应力相同，结果正确。

## 杨氏模量的实验测定

CIE考试经常出5-6分的题目描述该实验，因此你需要记住实验方法、测量量和减小误差的步骤。

1. 将长金属丝夹紧在刚性支架上，沿金属丝旁固定一把直尺。
2. 在自由端添加已知质量的砝码，测量每个砝码对应的伸长量。
3. 用米尺测量从夹具到金属丝上标记点的原长$L_0$。
4. 用千分尺在金属丝多个位置测量直径，计算平均直径。
5. 绘制力$F$对伸长量$\Delta L$的图像，求斜率$m = F/\Delta L$。
6. 用公式$E = \frac{m L_0}{A}$计算杨氏模量，其中$A = \pi (d/2)^2$。

**例题:** 一名学生在$F$ vs $\Delta L$图像中得到斜率为$8.0 \times 10^4$ Nm⁻¹，金属丝原长1.5 m，平均直径0.60 mm，计算杨氏模量。

1. 先计算横截面积，将直径转换为米：
2. $$A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0.60 \times 10^{-3}}{2}\right)^2 = 2.827 \times 10^{-7} \text{ m}^2$$
3. 代入由图像斜率求E的公式：
4. $$E = \frac{m L_0}{A} = \frac{8.0 \times 10^4 \times 1.5}{2.827 \times 10^{-7}} = 4.2 \times 10^{11} \text{ Pa}$$

> **tip**
>
> 使用细长金属丝可以减小伸长量的百分比不确定度，多次测量直径可以减小随机误差。CIE考官非常看重这些得分点。

## 应力-应变图像的性质

弹性区域内应力-应变图像的斜率等于杨氏模量，因为梯度 = $\Delta \sigma / \Delta \varepsilon = E$，这是常见的考点。

**例题:** 铝的应力-应变曲线弹性区域的斜率为$7.0 \times 10^{10}$ Pa，铝的杨氏模量是多少？

1. 根据定义，弹性区域内应力-应变曲线的斜率等于杨氏模量。
2. 因此，铝的杨氏模量为$7.0 \times 10^{10}$ Pa。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算前忘记将直径/伸长量的单位从毫米转换为米。
  - 原因: 这会导致杨氏模量的结果偏大或偏小10⁶倍，是考试中常见错误。
  - 正确做法: 代入公式前，始终将所有长度测量值转换为SI单位（米）。
- **错误做法:** 将横截面积计算为$\pi d^2$ instead of $\pi (d/2)^2$。
  - 原因: 大多数学生直接测量直径，忘记在面积公式中转换为半径。
  - 正确做法: 计算面积前，始终将直径除以2得到半径。
- **错误做法:** 认为杨氏模量取决于样品的长度或横截面积。
  - 原因: 学生混淆了与样品尺寸相关的伸长量和已经归一化的应变。
  - 正确做法: 记住杨氏模量是材料本身的强度性质，和样品尺寸无关。
- **错误做法:** 给应变赋予米的单位。
  - 原因: 应变是两个长度的比值，学生错误地添加了单位。
  - 正确做法: 应变是无量纲量，没有单位。
- **错误做法:** 在超过弹性极限的变形中使用杨氏模量公式。
  - 原因: 塑性变形开始后，应力不再和应变成正比。
  - 正确做法: 仅在遵循胡克定律的弹性变形中使用$E = \sigma/\varepsilon$。

## 速查表

| 物理量 | 符号 | 公式 | 单位 |
| --- | --- | --- | --- |
| 拉应力 | $\sigma$ | $\sigma = F/A$ | Pa (Nm⁻²) |
| 拉应变 | $\varepsilon$ | $\varepsilon = \Delta L / L_0$ | 无量纲 |
| 杨氏模量 | $E$ | $E = (F L_0)/(A \Delta L)$ | Pa (Nm⁻²) |
| 应力-应变图求E | $E$ | 弹性区域的斜率 | Pa |
| F-ΔL图求E | $E$ | $E = (m L_0)/A$, $m = F/\Delta L$ | Pa |

## 下一步

掌握应力、应变和杨氏模量是CIE A-Level物理中所有固体形变后续学习的基础。这些概念用于分类不同材料的力学行为，计算变形固体的弹性势能，解答工程应用中关于材料性质的结构化问题。你将基于这些定义解读完整的应力-应变曲线，识别弹性极限、屈服点和极限抗拉强度等关键点，这些都是选择题和扩展回答题中的常见考点。

- [力-伸长量和应力-应变图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-force-extension-and-stress-strain/)
- [弹性形变与塑性形变](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-elastic-and-plastic-deformation/)
- [应变能](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-strain-energy/)

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