应变能
CIE A-Level 物理· 第6单元：固体形变· 20 分钟阅读
1. 定义与基础应变能公式★★☆☆☆⏱ 5 min
应变能
当外力克服内部恢复力做功使材料变形时，材料中储存的弹性势能。如果材料保持在弹性极限内，所有能量都可以完全恢复。
例:
拉伸的弹弓储存应变能，释放时用来发射弹丸。
当你拉伸或压缩材料时，外力沿位移方向作用，因此会做功。如果没有发生永久形变，这些功就会以应变能的形式储存。对于服从胡克定律的材料（），应变能公式可以从线性力-伸长曲线图下三角形的面积推导得出。
一个劲度系数为的弹簧在弹性极限内被拉伸了0.25 m，计算储存的应变能。
- 1
使用胡克定律材料的标准应变能公式：
- 2
代入给定的和伸长量：
- 3
计算最终结果：
2. 从力-伸长曲线图得到应变能★★★☆☆⏱ 7 min
根据关系可知，对于任何材料（线性或非线性），应变能等于力-伸长曲线图上到当前伸长量为止的总面积。该规则适用于所有变形类型。
一条非线性弹性橡皮筋被拉伸4 cm时，其力-伸长曲线下的面积为，储存的应变能是多少？
- 1
根据定义，应变能等于力-伸长曲线图下的面积，N·m单位等价于焦耳。
- 2
因此储存的应变能为：
测试你的理解：
关于非线性弹性材料中的应变能，下列哪个陈述是正确的？
A: 无法计算应变能
B: 应变能等于力-伸长曲线图下的面积
C: 应变能始终等于
D: 弹性极限以下应变能为零
显示答案
B —面积法则适用于所有材料。仅适用于线性（胡克定律）材料。
3. 应变能的替代公式★★★☆☆⏱ 8 min
从胡克定律材料的推导
胡克定律：
- 1
将代入原应变能公式：
- 2
- 3
化简表达式得到最终结果：
- 4
对于任何线弹性材料，应变能等于最大外力与总伸长量乘积的一半。
均匀变形的另一种常见形式用应力、应变和材料总体积表示：。这种形式适用于已知应力和应变，而非力和伸长量的问题。
200 N的力将一根服从胡克定律的金属丝拉伸了3.0 mm，计算储存的应变能。
- 1
将伸长量转换为国际单位：
- 2
对胡克定律材料使用：
- 3
计算最终结果：
4. 常见陷阱
错误做法:
对非线性材料使用
原因:
该公式仅适用于力-伸长关系为线性（服从胡克定律）的材料。对于非线性材料，它会低估或高估应变能。
正确做法:
对于橡胶这类非线性材料，始终使用力-伸长曲线图下的面积计算应变能。
错误做法:
忘记将伸长量从毫米转换为米
原因:
能量（焦耳）的国际单位计算要求伸长量单位为米。保留毫米单位得到的结果会比正确值大1000倍。
正确做法:
代入公式前，将毫米单位的伸长量除以1000转换为米。
错误做法:
将塑性形变之后的所有做功都算作应变能
原因:
弹性极限之外的做功会导致永久形变，不会储存为可恢复的应变能。
正确做法:
只有到弹性极限为止的力-伸长曲线图下面积才算作应变能。
错误做法:
和使用不一致的单位
原因:
如果单位为Ncm⁻¹而单位为m，单位不匹配会导致能量结果错误。
正确做法:
将所有值转换为国际单位：单位为Nm⁻¹，单位为米，单位为牛顿，才能得到焦耳单位的能量。
5. 速查表
场景 | 公式 | 要点 |
|---|---|---|
线性（服从胡克定律） | E = \frac{1}{2} k x^2 | k = 劲度系数，x = 伸长量 |
线性（服从胡克定律） | E = \frac{1}{2} F x | F = 最大力，x = 伸长量 |
任意材料（所有类型） | E = \text{Area under } F-x \text{ graph} | 适用于线性和非线性材料 |
均匀线性变形 | E = \frac{1}{2} \sigma \varepsilon V | σ = 应力，ε = 应变，V = 总体积 |
真题中的出现
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下一步
理解应变能是固体力学后续主题的核心基础，包括弹簧中的能量转换、弹性碰撞和动态载荷下材料的行为。它直接连接到早期力学单元的功和能概念，并且在CIE A-Level物理的选择题和结构化问题中经常考察。掌握应变能计算将帮助你在所有固体形变问题中获得满分。