# 应变能

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-strain-energy/

本模块讲解应变能，即变形固体中储存的弹性势能。你将学习计算线性和非线性材料的应变能，并解决CIE考试中的常见问题。

**先修:** [胡克定律与力-伸长曲线图](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-hookes-law/); [应力与应变的定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-stress-strain/)

## 学习目标

- 定义应变能，并将其与变形固体上所做的功联系起来
- 推导并应用胡克定律材料的应变能公式
- 从任何材料的力-伸长曲线图计算应变能
- 解决涉及变形固体中储存应变能的考试题目

## 定义与基础应变能公式

**应变能** — 当外力克服内部恢复力做功使材料变形时，材料中储存的弹性势能。如果材料保持在弹性极限内，所有能量都可以完全恢复。

*记法:* E, U

*例:* 拉伸的弹弓储存应变能，释放时用来发射弹丸。

当你拉伸或压缩材料时，外力沿位移方向作用，因此会做功。如果没有发生永久形变，这些功就会以应变能的形式储存。对于服从胡克定律的材料（$F = kx$），应变能公式可以从线性力-伸长曲线图下三角形的面积推导得出。

**例题:** 一个劲度系数为$k = 80 \text{ Nm}^{-1}$的弹簧在弹性极限内被拉伸了0.25 m，计算储存的应变能。

1. 使用胡克定律材料的标准应变能公式：

   $$E = \frac{1}{2} k x^2$$
2. 代入给定的$k$和伸长量$x$：

   $$E = \frac{1}{2} \times 80 \times (0.25)^2$$
3. 计算最终结果：

   $$E = 2.5 \text{ J}$$

> **考试提示**
>
> 务必确认材料处于弹性极限内：如果材料发生了塑性形变，并非所有做功都会储存为应变能。

## 从力-伸长曲线图得到应变能

根据关系$\text{做功} = \int F \, dx$可知，对于任何材料（线性或非线性），应变能等于力-伸长曲线图上到当前伸长量为止的总面积。该规则适用于所有变形类型。

> **info**
>
> 只有到弹性极限为止的曲线下面积才属于可恢复的应变能。弹性极限之外的做功用于产生永久塑性形变，不会储存为应变能。

**例题:** 一条非线性弹性橡皮筋被拉伸4 cm时，其力-伸长曲线下的面积为$0.08 \text{ N·m}$，储存的应变能是多少？

1. 根据定义，应变能等于力-伸长曲线图下的面积，N·m单位等价于焦耳。
2. 因此储存的应变能为：

   $$E = 0.08 \text{ J}$$

**概念自测**

测试你的理解：

1. 关于非线性弹性材料中的应变能，下列哪个陈述是正确的？

   - A: 无法计算应变能
   - B: 应变能等于力-伸长曲线图下的面积
   - C: 应变能始终等于$\frac{1}{2}Fx$
   - D: 弹性极限以下应变能为零

   *解析:* 面积法则适用于所有材料。$\frac{1}{2}Fx$仅适用于线性（胡克定律）材料。

## 应变能的替代公式

**推导:** 从胡克定律材料的$E = \frac{1}{2}kx^2$推导$E = \frac{1}{2} Fx$

*起点:* 胡克定律：$F = kx \implies k = \frac{F}{x}$

1. 将$k = \frac{F}{x}$代入原应变能公式：
2. $$E = \frac{1}{2} \left(\frac{F}{x}\right) x^2$$
3. 化简表达式得到最终结果：
4. $$E = \frac{1}{2} F x$$

*结论:* 对于任何线弹性材料，应变能等于最大外力与总伸长量乘积的一半。

均匀变形的另一种常见形式用应力$\sigma$、应变$\varepsilon$和材料总体积$V$表示：$E = \frac{1}{2} \sigma \varepsilon V$。这种形式适用于已知应力和应变，而非力和伸长量的问题。

**例题:** 200 N的力将一根服从胡克定律的金属丝拉伸了3.0 mm，计算储存的应变能。

1. 将伸长量转换为国际单位：$3.0 \text{ mm} = 0.0030 \text{ m}$
2. 对胡克定律材料使用$E = \frac{1}{2}Fx$：

   $$E = \frac{1}{2} \times 200 \times 0.0030$$
3. 计算最终结果：

   $$E = 0.30 \text{ J}$$

> **考试提示**
>
> 如果已知胡克定律材料的力和伸长量，$E = \frac{1}{2}Fx$比先计算$k$更快使用。

## 常见错误

- **错误做法:** 对非线性材料使用$E = \frac{1}{2}Fx$
  - 原因: 该公式仅适用于力-伸长关系为线性（服从胡克定律）的材料。对于非线性材料，它会低估或高估应变能。
  - 正确做法: 对于橡胶这类非线性材料，始终使用力-伸长曲线图下的面积计算应变能。
- **错误做法:** 忘记将伸长量从毫米转换为米
  - 原因: 能量（焦耳）的国际单位计算要求伸长量单位为米。保留毫米单位得到的结果会比正确值大1000倍。
  - 正确做法: 代入公式前，将毫米单位的伸长量除以1000转换为米。
- **错误做法:** 将塑性形变之后的所有做功都算作应变能
  - 原因: 弹性极限之外的做功会导致永久形变，不会储存为可恢复的应变能。
  - 正确做法: 只有到弹性极限为止的力-伸长曲线图下面积才算作应变能。
- **错误做法:** $k$和$x$使用不一致的单位
  - 原因: 如果$k$单位为Ncm⁻¹而$x$单位为m，单位不匹配会导致能量结果错误。
  - 正确做法: 将所有值转换为国际单位：$k$单位为Nm⁻¹，$x$单位为米，$F$单位为牛顿，才能得到焦耳单位的能量。

## 速查表

| 场景 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 线性（服从胡克定律） | E = \frac{1}{2} k x^2 | k = 劲度系数，x = 伸长量 |
| 线性（服从胡克定律） | E = \frac{1}{2} F x | F = 最大力，x = 伸长量 |
| 任意材料（所有类型） | E = \text{Area under } F-x \text{ graph} | 适用于线性和非线性材料 |
| 均匀线性变形 | E = \frac{1}{2} \sigma \varepsilon V | σ = 应力，ε = 应变，V = 总体积 |

## 下一步

理解应变能是固体力学后续主题的核心基础，包括弹簧中的能量转换、弹性碰撞和动态载荷下材料的行为。它直接连接到早期力学单元的功和能概念，并且在CIE A-Level物理的选择题和结构化问题中经常考察。掌握应变能计算将帮助你在所有固体形变问题中获得满分。

- [波](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u7-overview/)
- [行波](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u7-progressive-waves/)
- [横波与纵波](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u7-transverse-and-longitudinal-waves/)

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