力-伸长量和应力-应变图像

CIE A-Level 物理学· 第6单元：固体的形变· 15 分钟阅读

1. 力-伸长量图像的关键特征★★☆☆☆⏱ 5 min

力-伸长量（ $F$ - $e$ ）图像绘制了施加在材料样品上的力与产生的伸长量的关系。所有弹性材料都有描述其行为的共同关键点。

📘 定义

比例极限

图像偏离直线的第一个点，此时力不再与伸长量成正比，胡克定律在此点之后不再适用。

例:

对于典型金属丝，该点出现在伸长量小于原长的1%处。

📘 定义

弹性极限

撤去力后材料无法恢复原长，发生永久（塑性）形变时对应的最大力。

📐 例题

一名学生在F-e图像上标记了两个点：P是直线停止变直的点，E是撤去力后导线保留0.1 mm永久伸长量的点。识别P和E分别是什么。

1
F-e图像上的直线意味着力与伸长量成正比，比例关系终止的点是：
2
P = 比例极限
3
形变变为永久性的点被定义为弹性极限，因此：
4
E = 弹性极限

Exam tip:

在CIE考试中，这两个点经常被考查：它们位置很接近但含义不同，因此你必须正确命名它们。

2. 为什么应力-应变图像更有用★★★☆☆⏱ 6 min

与力-伸长量图像不同（后者取决于测试样品的尺寸），应力-应变图像反映的是强度量性质：对于同一种材料，无论样品尺寸如何，应力-应变图像都是相同的，因此非常适合比较不同材料。

📘 定义

屈服点

应力-应变图像上塑性形变开始的点，仅需增加很小的应力就会导致应变快速增大。

📐 例题

为什么不能直接从力-伸长量图像比较直径1 mm和直径2 mm钢丝的刚度？

1
力-伸长量图像取决于样品的横截面积：相同材料的粗钢丝，产生与细钢丝相同伸长量需要两倍的力。
2
应力对力按面积归一化（ $σ = F / A$ ），应变对伸长量按原长归一化（ $ϵ = Δ l / l_{0}$ ）。应力-应变图像的斜率为：
3
$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$
4
杨氏模量 $E$ 仅为材料本身的性质，与样品尺寸无关，因此只有应力-应变图像可以直接用于比较。

Exam tip:

一定要检查题目要求的是力-伸长量还是应力-应变图像：混淆二者是丢分的常见原因。

3. 不同材料的图像形状★★★☆☆⏱ 7 min

不同类别的材料具有特征性的应力-应变图像形状，描述其力学行为：

材料类型	关键图像特征	实例
脆性	线弹性区，无塑性形变，低应变下立即断裂	玻璃、铸铁
韧性	线弹性，清晰屈服点，大塑性区，断裂前颈缩	铜、低碳钢
聚合物	初始斜率低，大应变下斜率增大，断裂前伸长量极大	天然橡胶

📐 例题

说出脆性玻璃和韧性铜的应力-应变图像的两个关键区别。

1
1. 玻璃（脆性材料）没有塑性区：线弹性区一直延伸到断裂点，而铜在屈服点之后存在大的塑性区。
2
1. 玻璃在低得多的应变下断裂（≈0.1%），而铜在断裂前可以伸长20-30%。
3
玻璃没有屈服点，而韧性铜有清晰的屈服点，塑性形变在此开始。

4. 从图像计算杨氏模量★★☆☆☆⏱ 4 min

杨氏模量等于应力-应变图像线性（弹性）区的斜率，你也可以通过以下关系从力-伸长量图像计算杨氏模量：

[Block type renderer not yet implemented · content will appear once shipped]

其中 $F / e$ 是力-伸长量图像的斜率， $l_{0}$ 是原长， $A$ 是横截面积。

📐 例题

一根原长2.0 m、横截面积为 $1.0 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ 的导线，其力-伸长量图像在线性区的斜率为 $2.5 \times 1 0^{4} Nm^{- 1}$ ，计算杨氏模量。

1
使用F-e斜率与E的关系式：
2
$E = \frac{\text{gradient} \times l_0}{A}$
3
代入给定数值：
4
$E = \frac{(2.5 \times 10^4) \times 2.0}{1.0 \times 10^{-6}} = 5.0 \times 10^{10} \text{ Pa}$

Exam tip:

一定要检查单位：杨氏模量的单位是Pa (N m⁻²)，常见错误是遗漏面积单位，导致单位错误。

5. 常见陷阱

错误做法:

混淆比例极限和弹性极限

原因:

这两个点在图像上位置非常接近，但定义不同

正确做法:

比例极限 = 比例关系的终点；弹性极限 = 完全弹性形变的终点

错误做法:

从力-伸长量图像比较不同样品的刚度

原因:

力-伸长量斜率取决于样品尺寸，不仅取决于材料本身

正确做法:

比较不同样品的材料性质时，始终使用应力-应变图像

错误做法:

从包含塑性区的整个图像计算杨氏模量

原因:

杨氏模量仅对弹性比例区有定义

正确做法:

只测量初始直线段的斜率

错误做法:

坐标轴偏移时仍从原点计算斜率

原因:

很多绘制的图像坐标轴不从(0,0)开始，因此从原点计算的斜率是错误的

正确做法:

使用图像直线段上的两个点计算斜率

错误做法:

认为脆性材料的断裂应力总是低于韧性材料

原因:

脆性材料通常比韧性材料具有更高的断裂应力，只是断裂应变更低

正确做法:

脆性材料在更低的应变（更低伸长量）下断裂，不一定具有更低的应力

6. 速查表

特征	力-伸长量图像	应力-应变图像
（线性区）斜率	$F / e$ = 样品刚度	$σ / ϵ = E$ = 材料杨氏模量
比例极限	直线的终点	直线的终点
弹性极限	弹性形变对应的最大力	弹性形变对应的最大应力
屈服点	定义不清晰（取决于样品）	清晰的特征点
断裂点	断裂力（取决于样品）	断裂应力（材料性质）

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 12
在F-e图像上识别弹性极限
2023 · 22
从应力-应变图像计算杨氏模量
2021 · 11
比较韧性和脆性材料的图像

深入阅读

practical guideCIE A-Level 杨氏模量实验本主题要求实验的参考指南

下一步

掌握力-伸长量和应力-应变图像是理解固体形变的核心，该主题在CIE A-Level考试的选择题和结构化问题中都会出现。这些概念是分析弹性材料储存能量、为工程应用选择材料以及理解材料如何在荷载下失效的基础。你可以通过探索下方相关主题拓展这部分知识。