# 力-伸长量和应力-应变图像

> CIE A-Level 物理学 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-force-extension-and-stress-strain/

本模块教你解读力-伸长量和应力-应变图像，识别关键特征点，计算杨氏模量等材料性质，比较不同材料的力学行为，适用于CIE A-Level物理备考。

**先修:** [胡克定律与弹性形变](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-hookes-law/); [应力、应变与杨氏模量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-stress-strain-young-modulus/)

## 学习目标

- 解读力-伸长量和应力-应变图像的关键特征
- 区分比例极限和弹性极限等关键特征点
- 从力-伸长量和应力-应变图像计算杨氏模量
- 比较脆性、韧性和聚合物材料的图像形状

## 力-伸长量图像的关键特征

力-伸长量（$F$-$e$）图像绘制了施加在材料样品上的力与产生的伸长量的关系。所有弹性材料都有描述其行为的共同关键点。

**比例极限** — 图像偏离直线的第一个点，此时力不再与伸长量成正比，胡克定律在此点之后不再适用。

*例:* 对于典型金属丝，该点出现在伸长量小于原长的1%处。

**弹性极限** — 撤去力后材料无法恢复原长，发生永久（塑性）形变时对应的最大力。

**例题:** 一名学生在F-e图像上标记了两个点：P是直线停止变直的点，E是撤去力后导线保留0.1 mm永久伸长量的点。识别P和E分别是什么。

1. F-e图像上的直线意味着力与伸长量成正比，比例关系终止的点是：
2. P = 比例极限
3. 形变变为永久性的点被定义为弹性极限，因此：
4. E = 弹性极限

> **考试提示:** 在CIE考试中，这两个点经常被考查：它们位置很接近但含义不同，因此你必须正确命名它们。

## 为什么应力-应变图像更有用

与力-伸长量图像不同（后者取决于测试样品的尺寸），应力-应变图像反映的是强度量性质：对于同一种材料，无论样品尺寸如何，应力-应变图像都是相同的，因此非常适合比较不同材料。

**屈服点** — 应力-应变图像上塑性形变开始的点，仅需增加很小的应力就会导致应变快速增大。

**例题:** 为什么不能直接从力-伸长量图像比较直径1 mm和直径2 mm钢丝的刚度？

1. 力-伸长量图像取决于样品的横截面积：相同材料的粗钢丝，产生与细钢丝相同伸长量需要两倍的力。
2. 应力对力按面积归一化（$\sigma = F/A$），应变对伸长量按原长归一化（$\epsilon = \Delta l / l_0$）。应力-应变图像的斜率为：
3. $$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$$
4. 杨氏模量$E$仅为材料本身的性质，与样品尺寸无关，因此只有应力-应变图像可以直接用于比较。

> **考试提示:** 一定要检查题目要求的是力-伸长量还是应力-应变图像：混淆二者是丢分的常见原因。

## 不同材料的图像形状

不同类别的材料具有特征性的应力-应变图像形状，描述其力学行为：

| 材料类型 | 关键图像特征 | 实例 |
| --- | --- | --- |
| 脆性 | 线弹性区，无塑性形变，低应变下立即断裂 | 玻璃、铸铁 |
| 韧性 | 线弹性，清晰屈服点，大塑性区，断裂前颈缩 | 铜、低碳钢 |
| 聚合物 | 初始斜率低，大应变下斜率增大，断裂前伸长量极大 | 天然橡胶 |

**例题:** 说出脆性玻璃和韧性铜的应力-应变图像的两个关键区别。

1. 1. 玻璃（脆性材料）没有塑性区：线弹性区一直延伸到断裂点，而铜在屈服点之后存在大的塑性区。
2. 2. 玻璃在低得多的应变下断裂（≈0.1%），而铜在断裂前可以伸长20-30%。
3. 玻璃没有屈服点，而韧性铜有清晰的屈服点，塑性形变在此开始。

## 从图像计算杨氏模量

杨氏模量等于应力-应变图像线性（弹性）区的斜率，你也可以通过以下关系从力-伸长量图像计算杨氏模量：

其中$F/e$是力-伸长量图像的斜率，$l_0$是原长，$A$是横截面积。

**例题:** 一根原长2.0 m、横截面积为$1.0 \times 10^{-6} \text{ m}^2$的导线，其力-伸长量图像在线性区的斜率为$2.5 \times 10^4 \text{ Nm}^{-1}$，计算杨氏模量。

1. 使用F-e斜率与E的关系式：
2. $$E = \frac{\text{gradient} \times l_0}{A}$$
3. 代入给定数值：
4. $$E = \frac{(2.5 \times 10^4) \times 2.0}{1.0 \times 10^{-6}} = 5.0 \times 10^{10} \text{ Pa}$$

> **考试提示:** 一定要检查单位：杨氏模量的单位是Pa (N m⁻²)，常见错误是遗漏面积单位，导致单位错误。

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆比例极限和弹性极限
  - 原因: 这两个点在图像上位置非常接近，但定义不同
  - 正确做法: 比例极限 = 比例关系的终点；弹性极限 = 完全弹性形变的终点
- **错误做法:** 从力-伸长量图像比较不同样品的刚度
  - 原因: 力-伸长量斜率取决于样品尺寸，不仅取决于材料本身
  - 正确做法: 比较不同样品的材料性质时，始终使用应力-应变图像
- **错误做法:** 从包含塑性区的整个图像计算杨氏模量
  - 原因: 杨氏模量仅对弹性比例区有定义
  - 正确做法: 只测量初始直线段的斜率
- **错误做法:** 坐标轴偏移时仍从原点计算斜率
  - 原因: 很多绘制的图像坐标轴不从(0,0)开始，因此从原点计算的斜率是错误的
  - 正确做法: 使用图像直线段上的两个点计算斜率
- **错误做法:** 认为脆性材料的断裂应力总是低于韧性材料
  - 原因: 脆性材料通常比韧性材料具有更高的断裂应力，只是断裂应变更低
  - 正确做法: 脆性材料在更低的应变（更低伸长量）下断裂，不一定具有更低的应力

## 速查表

| 特征 | 力-伸长量图像 | 应力-应变图像 |
| --- | --- | --- |
| （线性区）斜率 | $F/e$ = 样品刚度 | $\sigma/\epsilon = E$ = 材料杨氏模量 |
| 比例极限 | 直线的终点 | 直线的终点 |
| 弹性极限 | 弹性形变对应的最大力 | 弹性形变对应的最大应力 |
| 屈服点 | 定义不清晰（取决于样品） | 清晰的特征点 |
| 断裂点 | 断裂力（取决于样品） | 断裂应力（材料性质） |

## 下一步

掌握力-伸长量和应力-应变图像是理解固体形变的核心，该主题在CIE A-Level考试的选择题和结构化问题中都会出现。这些概念是分析弹性材料储存能量、为工程应用选择材料以及理解材料如何在荷载下失效的基础。你可以通过探索下方相关主题拓展这部分知识。

- [弹性形变与塑性形变](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-elastic-and-plastic-deformation/)
- [应变能](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-strain-energy/)
- [波](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u7-overview/)

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