力做的功

CIE A-Level 物理· 9702 AS & A Level Physics Syllabus 2022-2024 Section 5.1· 15 分钟阅读

1. 功的定义与公式★★☆☆☆⏱ 4 min

功的定义是：位移方向上的分力大小乘以位移的大小。尽管力和位移都是矢量，但功是标量。

📘 定义

恒力做的功

$W = F s cos θ$

力作用在发生位移的物体上时转移的能量

例:

10 N的力将一个箱子沿水平面拉动2 m，做功20 J。

W = F s \cos \theta

📐 例题

计算一个与水平方向成30°角的25 N恒力，在光滑水平面上将物体水平拉动4.0 m过程中做的功。

1
确定已知量： $F = 25$ N, $s = 4.0$ m, $θ = 3 0^{\circ}$
2
代入做功公式：
3
$W = (25)(4.0)\cos(30^\circ)$
4
计算得： $cos (3 0^{\circ}) \approx 0.866$ ，因此：
5
$W = 100 \times 0.866 = 86.6 \approx 87 \text{ J}$

2. 正功、负功与零功★★☆☆☆⏱ 4 min

$cos θ$ 的值随力与位移的夹角变化，因此功可以根据夹角为正、负或零：

如果0 ≤ θ < 90°: $cos θ > 0$ ，做功为正（力对物体做功，向物体输入能量）
如果90° < θ ≤ 180°: $cos θ < 0$ ，做功为负（力阻碍运动，从物体带走能量）
如果θ = 90°: $cos θ = 0$ ，做功为零（力与位移垂直，没有能量转移）

📐 例题

一个运动的箱子在粗糙地面上滑动了3 m，受到12 N的摩擦力阻碍，求摩擦力做的功。

1
摩擦力方向与位移方向相反，因此 $θ = 18 0^{\circ}$
2
代入做功公式：
3
$W = F s \cos(180^\circ) = (12)(3)(-1) = -36 \text{ J}$
4
负号验证了摩擦力会从箱子带走能量，符合预期。

✓ 快速检测

检查你对功的正负的理解：

一个人将10 kg的袋子静止举在头顶1分钟，人对袋子做的功是多少？
- 0 J
- 98 J
- 980 J
显示答案
0 J —
正确！袋子没有位移，因此无论施加多大的力，做功都是零。

3. 从力-位移图像求功★★★☆☆⏱ 5 min

对于随位移变化的力（例如拉伸弹簧所需的力），我们无法直接使用恒力公式。此时，总功等于力-位移（F-s）图像下的面积。

📘 定义

F-s图像下的面积

物体在图像上两个位移之间运动时，力做的总功

例:

拉伸弹簧的三角形面积给出功 = $\frac{1}{2} F x$ ，与弹性势能公式一致。

📐 例题

一根弹簧从原长被拉伸到0.5 m，力从0 N线性增加到最大伸长量时的20 N，计算拉伸弹簧做的总功。

1
F-s图像是一个三角形，底为伸长量0.5 m，高为最大力20 N。
2
三角形的面积等于总功：
3
$W = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 20 = 5.0 \text{ J}$

4. 多个力的总功★★★☆☆⏱ 5 min

当多个力同时作用在一个物体上时，物体受到的总功等于每个力单独做功的和。你也可以先计算合力，再对合力应用做功公式。

方法1：分别计算每个力做的功，将所有值相加（保留正负号）得到总功
方法2：求出位移方向上的合力，乘以位移得到总功

📐 例题

一个5 kg的箱子被20 N的力水平拉动2 m，受到5 N的摩擦力，求箱子受到的总功。

1
方法1：对单个力做功求和
2
拉力： $θ = 0^{\circ}$ , $W_{pull} = 20 \times 2 \times cos 0 = + 40$ J
3
摩擦力： $θ = 18 0^{\circ}$ , $W_{friction} = 5 \times 2 \times cos 180 = - 10$ J
4
总功 $= 40 - 10 = 30$ J
5
方法2：使用合力计算
6
$F_{\text{net}} = 20 - 5 = 15 \text{ N}, \quad W_{\text{net}} = 15 \times 2 = 30 \text{ J}$
7
两种方法得到的结果一致，符合预期。

5. 常见陷阱

错误做法:

当力与位移成角度时，忘记乘以 $cos θ$ ，直接计算 $W = F s$ 。

原因:

只有位移方向上的分力对做功有贡献，因此这种错误会得到偏大的结果。

正确做法:

一定要先确定力矢量和位移矢量之间的夹角，计算时包含 $cos θ$ 项。

错误做法:

忽略功的正负，始终给出正值。

原因:

负功表示能量从物体移出，这是考试题目要求的重要细节。

正确做法:

一定要检查力相对于位移的方向，对阻碍运动的力保留负号。

错误做法:

计算力-位移图像上方的面积而非下方的面积。

原因:

总功定义为F-s曲线和位移（x）轴之间的面积，因此这种错误会得到错误结果。

正确做法:

一定要计算力曲线、x轴和起止位移线围成的面积。

错误做法:

认为作用在静止物体上的力做功不为零。

原因:

做功需要位移：如果 $s = 0$ ，那么无论力多大， $W = 0$ 。

正确做法:

计算做功前一定要确认物体发生了位移。

6. 速查表

概念	公式/规则	要点
恒力做功	$W = F s cos θ$	单位：焦耳（J），1 J = 1 N·m
$θ = 0^{\circ}$ （同方向）	$W = + F s$	正功 = 能量输入物体
$θ = 9 0^{\circ}$ （垂直）	$W = 0$	不做功，无能量转移
$θ = 18 0^{\circ}$ （反方向）	$W = - F s$	负功 = 能量移出物体
变力	$W =$ 力-位移图像下的面积	计算所有面积，负力保留符号
多个力的总功	$W_{net} = \sum W_{i} = F_{net} s$	对单个做功求和时保留符号

7. 常见问题

什么时候功等于零？

如果力与位移垂直（(\cos\theta = 0)）或者物体没有位移，无论力多大，功都为零。

为什么功可以是负的？

负功表示力阻碍物体的运动，因此能量是从运动物体转移出去，而不是转移给物体。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

理解功是整个功、能与功率单元的基础。功能原理（物体受到的总功等于其动能的变化）直接来源于我们这里讲解的功的定义。功还与重力势能、弹性势能和功率计算相关，这些都是CIE A-Level物理考试的核心考点。许多长结构化考试题会将功与力的分解、能量守恒结合起来，因此掌握本子主题对拿到满分至关重要。