# 力做的功

> CIE A-Level 物理 · 第5单元：功、能与功率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-work-done-by-a-force/

本子主题涵盖恒力做功的定义、力与位移成角度时功的计算、从力-位移图像求功，我们还会讲解正功、负功和零功。

**先修:** [标量和矢量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u1-scalar-vector-quantities/); [力的分解](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-forces-resolution/)

## 学习目标

- 定义恒力做的功
- 计算与位移成角度的力做的功
- 区分正功、负功和零功
- 从力-位移图像计算功
- 求多个力的总功

## 功的定义与公式

功的定义是：位移方向上的分力大小乘以位移的大小。尽管力和位移都是矢量，但功是标量。

**恒力做的功** — 力作用在发生位移的物体上时转移的能量

*记法:* $W = Fs \cos\theta$

*例:* 10 N的力将一个箱子沿水平面拉动2 m，做功20 J。

$$W = F s \cos \theta$$

> **tip**
>
> 功就是能量转移，因此它的单位和能量相同：焦耳（J）。1 J = 1 N·m（1牛米）。

**例题:** 计算一个与水平方向成30°角的25 N恒力，在光滑水平面上将物体水平拉动4.0 m过程中做的功。

1. 确定已知量：$F = 25$ N, $s = 4.0$ m, $\theta = 30^\circ$
2. 代入做功公式：
3. $$W = (25)(4.0)\cos(30^\circ)$$
4. 计算得：$\cos(30^\circ) \approx 0.866$，因此：
5. $$W = 100 \times 0.866 = 86.6 \approx 87 \text{ J}$$

## 正功、负功与零功

$\cos\theta$的值随力与位移的夹角变化，因此功可以根据夹角为正、负或零：

- 如果**0 ≤ θ < 90°**: $\cos\theta > 0$，做功为正（力对物体做功，向物体输入能量）
- 如果**90° < θ ≤ 180°**: $\cos\theta < 0$，做功为负（力阻碍运动，从物体带走能量）
- 如果**θ = 90°**: $\cos\theta = 0$，做功为零（力与位移垂直，没有能量转移）

**例题:** 一个运动的箱子在粗糙地面上滑动了3 m，受到12 N的摩擦力阻碍，求摩擦力做的功。

1. 摩擦力方向与位移方向相反，因此$\theta = 180^\circ$
2. 代入做功公式：
3. $$W = F s \cos(180^\circ) = (12)(3)(-1) = -36 \text{ J}$$
4. 负号验证了摩擦力会从箱子带走能量，符合预期。

**概念自测**

检查你对功的正负的理解：

1. 一个人将10 kg的袋子静止举在头顶1分钟，人对袋子做的功是多少？

   - 0 J
   - 98 J
   - 980 J

   *解析:* 正确！袋子没有位移，因此无论施加多大的力，做功都是零。

## 从力-位移图像求功

对于随位移变化的力（例如拉伸弹簧所需的力），我们无法直接使用恒力公式。此时，*总功*等于力-位移（F-s）图像下的面积。

> **info**
>
> 该结论对恒力和变力都成立：对于恒力，图像下的面积是矩形，因此面积 = $F \times s = Fs \cos\theta$，与我们的原公式一致。

**F-s图像下的面积** — 物体在图像上两个位移之间运动时，力做的总功

*例:* 拉伸弹簧的三角形面积给出功 = $\frac{1}{2}Fx$，与弹性势能公式一致。

**例题:** 一根弹簧从原长被拉伸到0.5 m，力从0 N线性增加到最大伸长量时的20 N，计算拉伸弹簧做的总功。

1. F-s图像是一个三角形，底为伸长量0.5 m，高为最大力20 N。
2. 三角形的面积等于总功：
3. $$W = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 20 = 5.0 \text{ J}$$

## 多个力的总功

当多个力同时作用在一个物体上时，物体受到的总功等于每个力单独做功的和。你也可以先计算合力，再对合力应用做功公式。

- 方法1：分别计算每个力做的功，将所有值相加（保留正负号）得到总功
- 方法2：求出位移方向上的合力，乘以位移得到总功

**例题:** 一个5 kg的箱子被20 N的力水平拉动2 m，受到5 N的摩擦力，求箱子受到的总功。

1. 方法1：对单个力做功求和
2. 拉力：$\theta = 0^\circ$, $W_{\text{pull}} = 20 \times 2 \times \cos 0 = +40$ J
3. 摩擦力：$\theta = 180^\circ$, $W_{\text{friction}} = 5 \times 2 \times \cos 180 = -10$ J
4. 总功 $= 40 - 10 = 30$ J
5. 方法2：使用合力计算
6. $$F_{\text{net}} = 20 - 5 = 15 \text{ N}, \quad W_{\text{net}} = 15 \times 2 = 30 \text{ J}$$
7. 两种方法得到的结果一致，符合预期。

## 常见错误

- **错误做法:** 当力与位移成角度时，忘记乘以$\cos\theta$，直接计算$W = Fs$。
  - 原因: 只有位移方向上的分力对做功有贡献，因此这种错误会得到偏大的结果。
  - 正确做法: 一定要先确定力矢量和位移矢量之间的夹角，计算时包含$\cos\theta$项。
- **错误做法:** 忽略功的正负，始终给出正值。
  - 原因: 负功表示能量从物体移出，这是考试题目要求的重要细节。
  - 正确做法: 一定要检查力相对于位移的方向，对阻碍运动的力保留负号。
- **错误做法:** 计算力-位移图像上方的面积而非下方的面积。
  - 原因: 总功定义为F-s曲线和位移（x）轴之间的面积，因此这种错误会得到错误结果。
  - 正确做法: 一定要计算力曲线、x轴和起止位移线围成的面积。
- **错误做法:** 认为作用在静止物体上的力做功不为零。
  - 原因: 做功需要位移：如果$s = 0$，那么无论力多大，$W = 0$。
  - 正确做法: 计算做功前一定要确认物体发生了位移。

## 速查表

| 概念 | 公式/规则 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 恒力做功 | $W = Fs \cos\theta$ | 单位：焦耳（J），1 J = 1 N·m |
| $\theta = 0^\circ$（同方向） | $W = +Fs$ | 正功 = 能量输入物体 |
| $\theta = 90^\circ$（垂直） | $W = 0$ | 不做功，无能量转移 |
| $\theta = 180^\circ$（反方向） | $W = -Fs$ | 负功 = 能量移出物体 |
| 变力 | $W = $ 力-位移图像下的面积 | 计算所有面积，负力保留符号 |
| 多个力的总功 | $W_{\text{net}} = \sum W_i = F_{\text{net}} s$ | 对单个做功求和时保留符号 |

## 下一步

理解功是整个功、能与功率单元的基础。功能原理（物体受到的总功等于其动能的变化）直接来源于我们这里讲解的功的定义。功还与重力势能、弹性势能和功率计算相关，这些都是CIE A-Level物理考试的核心考点。许多长结构化考试题会将功与力的分解、能量守恒结合起来，因此掌握本子主题对拿到满分至关重要。

- [功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-power/)
- [引力势能与动能](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-gravitational-potential-energy-and-kinetic/)
- [能量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-conservation-of-energy/)

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