# 功率

> CIE A-Level 物理 · 功、能和功率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-power/

本子主题涵盖功率的定义、功率与功和能的关系、力学和电力系统的功率计算，以及功率与效率的关系，该考点在选择题和结构化试题中均常考。

**先修:** [做功与能量转移](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-work-energy-transfer/)

## 学习目标

- 将功率定义为做功或能量转移的速率
- 计算力学系统和电力系统的功率
- 推导并应用恒力下的关系$P=Fv$
- 解决涉及效率和功率的问题

## 功率的定义

**功率** — 功率被定义为做功的速率或能量转移的速率。功率的国际单位制单位是瓦特（$\text{W}$），1瓦特 = 1焦耳每秒。

*记法:* $P$

*例:* 一个60 W的灯泡每秒将60 J的电能转化为热能和光能。

时间间隔$\Delta t$内的平均功率计算公式为：

$$P_{average} = \frac{W}{\Delta t} = \frac{\Delta E}{\Delta t}$$

**例题:** 一名举重运动员在2.5秒内将100 kg的杠铃举高2 m，求其平均输出功率。

1. 首先计算举起杠铃做的功：$W = mgh = 100 \times 9.81 \times 2 = 1962 \text{ J}$
2. 代入平均功率公式：
3. $$P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{1962}{2.5} = 784.8 \approx 780 \text{ W}$$

> **考试提示:** 务必检查答案的单位是否正确：功率的单位永远是瓦特，不是焦耳。

## 运动物体的机械功率

对于受恒力作用的运动物体，我们可以推导出用力和速度表示的更简洁的功率表达式。

**推导:** 推导力平行于运动方向时恒力的功率公式$P = Fv$

*起点:* 从$P = \frac{W}{t}$和$W = Fd$出发

1. 将功代入功率方程：$P = \frac{Fd}{t}$
2. 因为$\frac{d}{t} = v$（匀速），因此化简得$P = Fv$

*结论:* 当$v$是物体的瞬时速率时，该公式给出瞬时功率。

> **tip**
>
> 如果力与速度夹角为$\theta$，通用公式为$P = Fv\cos\theta$。如果力与速度垂直，$\cos 90^\circ = 0$，因此功率为零。

**例题:** 一名骑行者以8 m/s的匀速运动，总阻力为30 N，求骑行者维持该速度需要输出的功率。

1. 匀速时，驱动力等于阻力，因此$F = 30 \text{ N}$
2. 使用公式$P = Fv$：
3. $$P = 30 \times 8 = 240 \text{ W}$$

## 电功率

**电功率** — 元件中电能转移的速率，可由电势差和电流计算得到。

- 基础公式（永远成立）：$P = VI$
- 对于欧姆元件（电阻$R$恒定）：$P = I^2 R = \frac{V^2}{R}$
- 其中$V$ = 电势差，$I$ = 电流，$R$ = 电阻

**例题:** 一个5 Ω的电阻接在10 V的电池上，计算电阻消耗的功率。

1. 使用公式$P = \frac{V^2}{R}$：
2. $$P = \frac{10^2}{5} = \frac{100}{5} = 20 \text{ W}$$
3. 用$P = VI$验证：$I = V/R = 2 A$，因此$P = 10 \times 2 = 20 W$，结果一致。

## 功率与效率

实际的能量转化过程都不可能100%高效。总有部分能量以热量的形式散失到环境中，因此有用输出功率永远小于总输入功率。

**效率** — 效率是有用输出功率与总输入功率的比值，可以用小数或百分比表示。

*记法:* $\eta$

$$\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\%$$

**例题:** 一台电动机输入功率为2 kW，它以1.5 m/s的匀速提升75 kg的重物，计算电动机的效率。

1. 计算有用输出功率：$F = mg = 75 \times 9.81 = 735.75 N$
2. 计算得$P_{out} = Fv = 735.75 \times 1.5 = 1103.6 W$
3. 将输入功率转换为瓦特：$P_{in} = 2 kW = 2000 W$
4. 计算效率：
5. $$\eta = \frac{1103.6}{2000} \times 100\% = 55.2\% \approx 55\%$$

> **warning**
>
> 效率永远不可能大于1（100%）。如果你得到大于100%的结果，说明你把输入功率和输出功率弄反了。

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆能量和功率，用总能量代替能量转移速率
  - 原因: 功率是速率，不是总量，混淆二者会导致单位和数值错误。
  - 正确做法: 永远先检查单位：功率单位为瓦特（J/s），能量单位为焦耳。总能量除以时间才是功率。
- **错误做法:** 计算前忘记将kW转换为W（或其他单位前缀转换错误）
  - 原因: CIE考官经常考察单位转换，题目中功率会用千瓦给出，忘记转换会导致结果差1000倍。
  - 正确做法: 开始计算前，永远将所有物理量转换为国际单位制基本单位（瓦特、秒、牛顿）。
- **错误做法:** 力和速度垂直时仍然使用$P=Fv$
  - 原因: 公式$P=Fv$的前提是力平行于运动方向。力垂直于运动方向时不做功，因此功率为零。
  - 正确做法: 使用通用公式$P = Fv\cos\theta$，$\theta$是力与速度的夹角。
- **错误做法:** 效率公式中交换输入功率和输出功率
  - 原因: 记错比值顺序会导致效率大于100%，这是不可能的。
  - 正确做法: 效率永远等于有用输出 / 总输入。输出功率不可能大于输入功率。
- **错误做法:** 对二极管这类非欧姆元件使用$P=\frac{V^2}{R}$
  - 原因: 非欧姆元件的电阻不恒定，因此这个推导公式不成立。
  - 正确做法: 任何电学元件都使用$P=VI$，这个公式永远成立。

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 国际单位制单位 |
| --- | --- | --- |
| 平均功率 | $P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{\Delta E}{\Delta t}$ | 瓦特 (W = J/s) |
| 瞬时机械功率 | $P = Fv\cos\theta$ | 瓦特 |
| 通用电功率 | $P = VI$ | 瓦特 |
| 电功率（欧姆元件） | $P = I^2 R = \frac{V^2}{R}$ | 瓦特 |
| 效率 | $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\%$ | 无量纲 / % |

## 下一步

功率是CIE A-Level物理多个主题中都会出现的核心概念，它用于分析车辆运动、计算电路中的能量损耗，以及理解能量生成和守恒。功率计算经常和力、能量守恒、欧姆定律等其他概念结合考察，掌握功率计算对在选择题和扩展回答题中拿满分至关重要。现在扎实掌握功率的概念，会让后续更难的主题更容易学习。

- [能量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-conservation-of-energy/)
- [能量效率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-energy-efficiency/)
- [固体形变](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-overview/)

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