引力势能与动能

CIE A-Level 物理· 35 分钟阅读

1. 地球表面附近的引力势能★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

（地球表面附近）引力势能的变化量

\Delta U

将物体在两个位置之间移动时克服重力所做的功。对于恒定重力加速度 $g$ ，引力势能变化量为 $Δ U = m g Δ h$ ，其中 $m$ = 物体质量， $Δ h$ = 竖直高度变化量。

例:

向上抬起的物体引力势能增加（变化量为正）。

在地球表面附近，我们假设 $g$ 恒定，因此GPE随竖直高度线性变化。我们可以将GPE的零参考点设置在任意位置，因为大多数问题中我们只测量GPE的变化量。

📐 例题

一本质量为2.0 kg的教科书从地面被抬到离地面1.6 m高的书架上。计算这本书的引力势能变化量，取 $g = 9.81 m s^{- 2}$ 。

1
步骤1：确定已知量： $m = 2.0 kg$ ， $g = 9.81 m s^{- 2}$ ， $Δ h = 1.6 m$
2
步骤2：代入引力势能变化量公式：
3
$\Delta U = mg\Delta h = 2.0 \times 9.81 \times 1.6$
4
步骤3：计算并保留2位有效数字：
5
$\Delta U = 31 \text{ J (2 s.f.)}$

2. 动能与功能原理★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

动能

K

物体由于运动而具有的能量，计算公式为 $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ ，其中 $m$ = 物体质量， $v$ = 物体速率。

例:

静止物体的动能为零。

功能原理指出，对物体做的总功等于物体动能的变化量： $W_{net} = Δ K$ 。当只有重力做功时，重力做的功等于 $- Δ U$ ，整理后可得 $Δ U + Δ K = 0$ ，即总机械能保持恒定。

📐 例题

一名质量为50 kg的短跑运动员从静止加速到10 m s⁻¹，求运动员受到的总功是多少？

1
步骤1：运动员从静止出发，因此初始动能为零： $K_{1} = 0$
2
步骤2：计算末动能：
3
$K_2 = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(50)(10)^2 = 2500 \text{ J}$
4
步骤3：根据功能原理，总功等于动能变化量：
5
$W_{\text{net}} = \Delta K = 2500 - 0 = 2500 \text{ J}$

✓ 快速检测

检查你对能量变化的理解：

一个球被竖直向上抛出，以下哪一项正确描述了球上升到最高点过程中的能量变化？
- GPE和动能都增加
- GPE增加，动能减少
- GPE减少，动能增加
- GPE和动能都减少
显示答案
GPE增加，动能减少 —
正确！球上升过程中克服重力做功，因此GPE增加；上升过程中速率减小，因此动能减少。

3. 能量守恒的应用★★★☆☆⏱ 20 min

当没有非保守力（如空气阻力或摩擦力）做功时，总机械能（GPE与动能之和）守恒。这让我们可以解决仅靠运动学难以求解的曲线运动等问题。

📐 例题

一个质量0.5 kg的球从离地面10 m高处静止释放，假设无空气阻力，计算球撞击地面前瞬间的速率，取 $g = 9.81 m s^{- 2}$ 。

1
步骤1：将地面设为零GPE参考点。初始能量：球静止，因此 $K E_{initial} = 0$ ， $GP E_{initial} = m g h$
2
步骤2：总初始能量：
3
$E_{\text{total, initial}} = 0 + (0.5)(9.81)(10) = 49.05 \text{ J}$
4
步骤3：撞击前瞬间的末能量：地面处GPE为零，因此总能量全部为动能：
5
$E_{\text{total, final}} = \frac{1}{2}mv^2 + 0$
6
步骤4：令初始总能量等于末总能量（能量守恒）：
7
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
8
步骤5：两边质量抵消，求解v：
9
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 10} \approx 14 \text{ m s}^{-1} \text{ (2 s.f.)}$

4. 常见陷阱

错误做法:

计算GPE变化量时使用水平距离而非竖直高度

原因:

重力沿竖直方向作用，因此GPE仅与竖直位置变化有关，水平位移不会改变GPE

正确做法:

解题时务必提取竖直高度变化量，计算ΔGPE时忽略所有水平距离

错误做法:

能量守恒方程中忘记检查ΔGPE的符号

原因:

符号错误会导致根号下出现负值，无法求解速率

正确做法:

确认规律：物体上升→ΔGPE为正，物体下降→ΔGPE为负，求解前先检查符号

错误做法:

Using the general GPE formula $U = - GM m / r$ for near-surface problems

原因:

This formula uses zero GPE at infinity and is only for large-scale orbital problems. Using it for small height changes near Earth leads to incorrect results

正确做法:

Use $Δ U = m g Δ h$ for all near-surface problems, only use the radial GPE formula when asked about orbits or escape velocity

错误做法:

使用GPE时重复计算重力做的功

原因:

GPE已经包含了重力做功的影响，再次作为功加入会导致总能量错误

正确做法:

总能量计算中使用GPE时，只需额外加上摩擦力、张力等非重力做的功

5. 速查表

物理量	公式（地球表面附近）	要点
GPE变化量	$Δ U = m g Δ h$	Δh向上为正，GPE增加时ΔU为正
动能	$K = \frac{1}{2} m v^{2}$	恒为正，仅与速率有关，与运动方向无关
机械能守恒	$U_{1} + K_{1} = U_{2} + K_{2}$	仅当重力做功时成立
功能原理	$W_{net} = Δ K$	总功包含所有力的做功，包括重力

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 1
运动物体的GPE变化
2022 · 2
下落物体的能量守恒
2021 · 1
抛体运动的KE变化

下一步

理解GPE与动能的关系是A-Level物理所有能量主题的基础。该概念可推广到涉及摩擦力等非保守力（能量以热量形式耗散）的问题，以及物体克服重力运动的功率计算中。将GPE推广到大尺度径向引力场后，我们可以理解卫星运动和逃逸速度，这些都是CIE A-Level试卷中常见的大题。掌握本子主题后，更高级的能量和引力问题会更容易求解。