# 引力势能与动能

> CIE A-Level 物理 · 功、能量与功率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-gravitational-potential-energy-and-kinetic/

本子主题探究了引力场中运动物体的引力势能和动能变化规律，以及如何应用机械能守恒解决地球表面附近的常见考题。

**先修:** [恒力做功](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-work-done-by-constant-force/); [地球表面附近的重力加速度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-gravitational-acceleration/)

## 学习目标

- 区分地球表面附近与径向引力场中引力势能（GPE）的变化
- 建立引力作用下运动物体的GPE变化与动能（KE）变化的联系
- 将功能原理和机械能守恒应用于引力相关问题
- 求解恒定引力场中物体运动的典型考题

## 地球表面附近的引力势能

**（地球表面附近）引力势能的变化量** — 将物体在两个位置之间移动时克服重力所做的功。对于恒定重力加速度$g$，引力势能变化量为$\Delta U = mg\Delta h$，其中$m$ = 物体质量，$\Delta h$ = 竖直高度变化量。

*记法:* \Delta U

*例:* 向上抬起的物体引力势能增加（变化量为正）。

在地球表面附近，我们假设$g$恒定，因此GPE随竖直高度线性变化。我们可以将GPE的零参考点设置在任意位置，因为大多数问题中我们只测量GPE的变化量。

**例题:** 一本质量为2.0 kg的教科书从地面被抬到离地面1.6 m高的书架上。计算这本书的引力势能变化量，取$g = 9.81 \text{ m s}^{-2}$。

1. 步骤1：确定已知量：$m = 2.0 \text{ kg}$，$g = 9.81 \text{ m s}^{-2}$，$\Delta h = 1.6 \text{ m}$
2. 步骤2：代入引力势能变化量公式：
3. $$\Delta U = mg\Delta h = 2.0 \times 9.81 \times 1.6$$
4. 步骤3：计算并保留2位有效数字：
5. $$\Delta U = 31 \text{ J (2 s.f.)}$$

> **tip**
>
> 务必检查$\Delta h$的符号：物体向上运动时$\Delta h$为正，对应$\Delta U$为正（GPE增加）；物体向下运动时$\Delta h$为负，因此$\Delta U$为负（GPE减少）。

## 动能与功能原理

**动能** — 物体由于运动而具有的能量，计算公式为$K = \frac{1}{2}mv^2$，其中$m$ = 物体质量，$v$ = 物体速率。

*记法:* K

*例:* 静止物体的动能为零。

功能原理指出，对物体做的总功等于物体动能的变化量：$W_{\text{net}} = \Delta K$。当只有重力做功时，重力做的功等于$-\Delta U$，整理后可得$\Delta U + \Delta K = 0$，即总机械能保持恒定。

**例题:** 一名质量为50 kg的短跑运动员从静止加速到10 m s⁻¹，求运动员受到的总功是多少？

1. 步骤1：运动员从静止出发，因此初始动能为零：$K_1 = 0$
2. 步骤2：计算末动能：
3. $$K_2 = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(50)(10)^2 = 2500 \text{ J}$$
4. 步骤3：根据功能原理，总功等于动能变化量：
5. $$W_{\text{net}} = \Delta K = 2500 - 0 = 2500 \text{ J}$$

**概念自测**

检查你对能量变化的理解：

1. 一个球被竖直向上抛出，以下哪一项正确描述了球上升到最高点过程中的能量变化？

   - GPE和动能都增加
   - GPE增加，动能减少
   - GPE减少，动能增加
   - GPE和动能都减少

   *解析:* 正确！球上升过程中克服重力做功，因此GPE增加；上升过程中速率减小，因此动能减少。

## 能量守恒的应用

当没有非保守力（如空气阻力或摩擦力）做功时，总机械能（GPE与动能之和）守恒。这让我们可以解决仅靠运动学难以求解的曲线运动等问题。

> **tip**
>
> 将零GPE参考点设置在问题中的最低点可以简化计算，这样该点的GPE为零，避免出现负值。

**例题:** 一个质量0.5 kg的球从离地面10 m高处静止释放，假设无空气阻力，计算球撞击地面前瞬间的速率，取$g = 9.81 \text{ m s}^{-2}$。

1. 步骤1：将地面设为零GPE参考点。初始能量：球静止，因此$KE_{\text{initial}} = 0$，$GPE_{\text{initial}} = mgh$
2. 步骤2：总初始能量：
3. $$E_{\text{total, initial}} = 0 + (0.5)(9.81)(10) = 49.05 \text{ J}$$
4. 步骤3：撞击前瞬间的末能量：地面处GPE为零，因此总能量全部为动能：
5. $$E_{\text{total, final}} = \frac{1}{2}mv^2 + 0$$
6. 步骤4：令初始总能量等于末总能量（能量守恒）：
7. $$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$
8. 步骤5：两边质量抵消，求解v：
9. $$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 10} \approx 14 \text{ m s}^{-1} \text{ (2 s.f.)}$$

**考试命令词**

- **By conservation of energy** — 你必须说明过程前后总能量相等，并证明你已考虑所有能量形式 *(即使计算错误，明确写出该原理也能得分)*

## 常见错误

- **错误做法:** 计算GPE变化量时使用水平距离而非竖直高度
  - 原因: 重力沿竖直方向作用，因此GPE仅与竖直位置变化有关，水平位移不会改变GPE
  - 正确做法: 解题时务必提取竖直高度变化量，计算ΔGPE时忽略所有水平距离
- **错误做法:** 能量守恒方程中忘记检查ΔGPE的符号
  - 原因: 符号错误会导致根号下出现负值，无法求解速率
  - 正确做法: 确认规律：物体上升→ΔGPE为正，物体下降→ΔGPE为负，求解前先检查符号
- **错误做法:** Using the general GPE formula $U = -GMm/r$ for near-surface problems
  - 原因: This formula uses zero GPE at infinity and is only for large-scale orbital problems. Using it for small height changes near Earth leads to incorrect results
  - 正确做法: Use $\Delta U = mg\Delta h$ for all near-surface problems, only use the radial GPE formula when asked about orbits or escape velocity
- **错误做法:** 使用GPE时重复计算重力做的功
  - 原因: GPE已经包含了重力做功的影响，再次作为功加入会导致总能量错误
  - 正确做法: 总能量计算中使用GPE时，只需额外加上摩擦力、张力等非重力做的功

## 速查表

| 物理量 | 公式（地球表面附近） | 要点 |
| --- | --- | --- |
| GPE变化量 | $\Delta U = mg\Delta h$ | Δh向上为正，GPE增加时ΔU为正 |
| 动能 | $K = \frac{1}{2}mv^2$ | 恒为正，仅与速率有关，与运动方向无关 |
| 机械能守恒 | $U_1 + K_1 = U_2 + K_2$ | 仅当重力做功时成立 |
| 功能原理 | $W_{\text{net}} = \Delta K$ | 总功包含所有力的做功，包括重力 |

## 下一步

理解GPE与动能的关系是A-Level物理所有能量主题的基础。该概念可推广到涉及摩擦力等非保守力（能量以热量形式耗散）的问题，以及物体克服重力运动的功率计算中。将GPE推广到大尺度径向引力场后，我们可以理解卫星运动和逃逸速度，这些都是CIE A-Level试卷中常见的大题。掌握本子主题后，更高级的能量和引力问题会更容易求解。

- [能量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-conservation-of-energy/)
- [功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-power/)
- [能量效率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-energy-efficiency/)

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