# 能量守恒

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-conservation-of-energy/

本模块讲解能量守恒原理，及其在力学系统中的应用，以及如何处理真实场景中的能量转移和能量损耗。你将学习求解下落物体、单摆和动力车辆的相关问题。

**先修:** [力做的功](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-work-done/); [动能和重力势能](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-kinetic-potential-energy/)

## 学习目标

- 阐述能量守恒原理
- 应用能量守恒解决力学问题
- 解释真实系统中的能量损耗
- 计算能量转移过程的效率

## 能量守恒原理

**能量守恒原理** — 能量既不能被创造，也不能被消灭，只能从一种形式转化为另一种形式，或在物体之间转移。封闭系统的总能量保持恒定。

*例:* 一个下落的球将重力势能转化为动能，少量能量因空气阻力以热量形式损失；总能量保持不变。

封闭系统的定义是没有能量进出的系统。在开放系统中，能量可以在系统和环境之间转移。对于A-Level习题，你几乎总是在处理封闭系统——即使有能量从工作系统流失到环境中，你只需要在总能量计算中计入损失的能量即可。

**例题:** 一个质量为2.0 kg的球从距地面5.0 m高度处由静止下落，假设无空气阻力，计算球撞击地面前瞬间的速度。

1. 应用能量守恒：重力势能的减少量 = 动能的增加量
2. $$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$
3. 质量$m$是两边的公因子，因此可以约去：
4. $$gh = \frac{1}{2}v^2$$
5. 代入$g = 9.81 \text{ ms}^{-2}$和$h = 5.0$：
6. $$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 5.0} = \sqrt{98.1} \approx 9.9 \text{ ms}^{-1}$$

> **考试提示:** 在无摩擦或空气阻力的问题中，质量几乎总是可以约去，因此你不需要物体的质量就能计算末速度。

## 在力学系统中的应用

能量守恒几乎可以应用于所有力学问题，包括单摆、过山车和斜面上运动的物体。当摩擦力、空气阻力等非保守力做功时，部分能量会以热量（和声能）的形式转移到环境中，因此总机械能（动能+势能）不会保持恒定。

**例题:** 一个质量为0.5 kg的单摆被向侧面拉至其质心比最低点高10 cm的位置，由静止释放，摆球经过最低点时速度为1.2 m/s。计算因空气阻力以热量形式损失的能量。

1. 计算相对于最低点的初始重力势能：
2. $$E_p = mgh = 0.5 \times 9.81 \times 0.10 = 0.4905 \text{ J}$$
3. 计算最低点的末动能：
4. $$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = 0.5 \times 0.5 \times (1.2)^2 = 0.36 \text{ J}$$
5. 根据能量守恒，损失的能量等于初始机械能和末机械能的差值：
6. $$\text{Energy lost} = 0.4905 - 0.36 \approx 0.13 \text{ J}$$

> **tip**
>
> 将重力势能的参考点设置为问题中的最低点，可以避免出现负的势能值，简化计算。

## 能量转移的效率

能量守恒原理适用于所有能量转移，不仅限于力学过程。常见例子包括汽车发动机中化学能转化为动能，灯泡中电能转化为光能。对于所有真实过程，部分能量会以废热的形式损失，因此我们计算效率来量化有用能量输出。

**效率** — 有用能量输出与总能量输入的比值，以小数或百分比表示。对于真实系统，效率始终小于1（100%）。

*记法:* \eta

*例:* 汽车发动机的效率通常约为20-30%，即70-80%的燃料能量以热量形式损失。

**例题:** 某汽车发动机效率为25%，汽车以恒定速度行驶1 km，平均阻力为500 N。计算发动机消耗的总化学能。

1. 计算克服阻力做的有用功（有用能量输出）：
2. $$W = Fd = 500 \times 1000 = 500\,000 \text{ J}$$
3. 使用效率公式，变形后求总输入能量：
4. $$\eta = \frac{\text{Useful output}}{\text{Total input}} \implies 0.25 = \frac{500\,000}{E_{\text{total}}}$$
5. $$E_{\text{total}} = \frac{500\,000}{0.25} = 2.0 \times 10^6 \text{ J}$$

**概念自测**

检验你的理解：

1. 开放系统的总能量始终恒定，判断对错。

   - 正确
   - 错误

   *答案:* 错误

   *解析:* 错误。能量可以进出开放系统，因此系统的总能量可以改变。能量守恒适用于系统加环境的整体，不适用于单独的开放系统。

## 常见错误

- **错误做法:** 题目提到摩擦力/空气阻力时，忘记计入能量损耗
  - 原因: 假设所有初始势能都转化为动能，导致末速度被高估
  - 正确做法: 务必检查题目中是否存在非保守力；将以热量形式损失的能量加到能量守恒方程的右侧
- **错误做法:** 质量不是所有项的公因子时就约去质量
  - 原因: 当能量损耗与质量无关，或方程一侧不含质量时，约去质量会得到错误结果
  - 正确做法: 只有当质量出现在能量守恒方程的每一项中时，才能约去质量
- **错误做法:** 使用势能的绝对值而非变化量
  - 原因: 会引入不必要的常数项，导致计算错误
  - 正确做法: 始终计算两点之间的势能变化量；常数项总会被抵消
- **错误做法:** 把效率比颠倒为输入 over 输出
  - 原因: 会得到大于100%的效率，这对真实系统来说不可能
  - 正确做法: 记住：$\text{Efficiency} = \frac{\text{Useful energy output}}{\text{Total energy input}}$

## 速查表

| 概念 | 关键关系 |
| --- | --- |
| 能量守恒（封闭系统） | 初始总能量 = 末态总能量 |
| 存在摩擦/空气阻力时 | 初始能量 = 末态机械能 + 以热量形式损失的能量 |
| 效率 | $\eta = \frac{\text{Useful output}}{\text{Total input}} \times 100\%$ |
| 下落物体（无阻力） | $v = \sqrt{2gh}$ |

## 下一步

能量守恒是物理学最基本的定律之一，是从经典力学到量子物理、热力学所有领域的基础。掌握本主题会给你一个核心解题工具，你在A-Level物理的所有后续主题中都会用到它。接下来，你将学习如何通过功率将能量转移与时间关联起来，并计算更复杂系统的效率。这个原理也是理解碰撞中动量守恒和热力学中能量转移的基础。

- [功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-power/)
- [能量效率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-energy-efficiency/)
- [固体形变](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u6-overview/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-conservation-of-energy/