# 力矩与力偶矩

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-moment-and-torque/

本子主题涵盖力的转动效应，包括单个力的力矩和力偶产生的力偶矩。你将学习如何应用力矩原理解决CIE考试中常见的转动平衡问题。

**先修:** [标量和矢量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u1-scalar-and-vector-quantities/); [力与牛顿定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-force-and-newtons-laws/)

## 学习目标

- 定义力矩和力偶矩
- 计算垂直于和倾斜于转轴的力的力矩
- 应用力矩原理解答平衡问题
- 区分力矩和力偶矩

## 力矩：定义与计算

**力矩** — 力绕固定转轴的转动效应，计算公式为 $M = F \times d_\perp$，其中 $F$ 是力的大小，$d_\perp$ 是转轴到 $F$ 作用线的垂直距离。单位为牛顿米（Nm）。

*记法:* M

*例:* 一个距离转轴2m的10N力产生的力矩为20 Nm。

如果力不垂直于转轴到力作用点的距离，我们需要利用力与转轴到作用点位置矢量之间的夹角计算正确的力矩：

$$M = Fd \sin\theta$$

**例题:** 一根长5.0 m的均匀梁一端铰接，在自由端施加一个与梁成30°角、大小为12 N的力。计算该力对转轴的力矩。

1. 确定已知量：$F = 12$ N，$d = 5.0$ m，$\theta = 30^\circ$
2. 对倾斜力使用力矩公式：
3. $$M = Fd \sin\theta$$
4. 代入数值，且$\sin 30^\circ = 0.5$：
5. $$M = (12)(5.0)(0.5) = 30 \text{ Nm}$$
6. 该力对转轴的力矩为30 Nm，顺时针方向转动。

## 力偶与力偶矩

**力偶** — 一对大小相等、方向相反的平行力，被垂直距离隔开。力偶的合力为零，因此仅产生转动效应，不产生平动。

**力偶矩** — 力偶的总转动效应，计算公式为 $\tau = F \times d$，其中 $F$ 是一个力的大小，$d$ 是两个力作用线之间的垂直距离。单位为Nm，和力矩相同。

*记法:* \tau

> **info**
>
> 和单个力的力矩不同，力偶矩与转轴位置无关：它在力偶平面内任意点的大小都相同。

**例题:** 一个直径为40 cm的方向盘，两只手在对边分别施加大小为15 N的反向切向力。计算施加的力偶矩。

1. 将直径单位转换为米：$d = 40$ cm $= 0.40$ m
2. 两个切向力之间的垂直距离等于方向盘的直径。
3. 使用力偶的力偶矩公式：
4. $$\tau = Fd = 15 \times 0.40 = 6.0 \text{ Nm}$$
5. 施加在方向盘上的总力偶矩为6.0 Nm。

## 转动平衡的力矩原理

**力矩原理** — 刚体处于转动平衡时，对任意转轴的所有顺时针力矩之和等于对该转轴的所有逆时针力矩之和，可写为：$\sum M_{clockwise} = \sum M_{anticlockwise}$

物体要处于完全（平动+转动）平衡，必须满足两个条件：1) 物体所受合力为零，2) 对任意转轴的力矩之和为零。

**例题:** 一根长4.0 m、质量20 kg的均匀梁，在距离左端1.0 m处铰接。左端需要放置多大质量才能保持梁平衡？

1. 均匀梁的重力作用在其质心，质心距离左端2.0 m，在转轴右侧1.0 m处，产生顺时针力矩。
2. 设未知质量为$m$，其重力为$mg$，作用在转轴左侧1.0 m处，产生逆时针力矩。
3. 应用力矩原理：
4. $$m g \times 1.0 = (20 g) \times 1.0$$
5. 重力加速度$g$从等式两边消去，得到$m = 20$ kg。
6. 左端放置20 kg质量可使梁保持平衡。

> **考试提示:** 永远记住均匀梁的质心在中点——这是考官常考的点。

## 求解复杂平衡问题

对于存在多个未知力的问题，我们同时使用两个平衡条件：x方向和y方向合力均为零，且力矩之和为零。将转轴选在未知力的作用点可以将该力从计算中消去，简化问题。

**例题:** 一根长3.0 m、质量15 kg的均匀梯子靠在光滑墙上，底端在粗糙地面，与水平面成60°角。求墙对梯子的水平反作用力。

1. 光滑墙意味着仅在顶端存在水平反作用力$R$。地面在底端施加竖直法向力$N$和水平摩擦力$F$。将转轴选在底端以消去$N$和$F$。
2. 重力$W = 15g$作用在距离底端1.5 m处。对转轴的垂直距离为 $1.5 \cos 60^\circ$（顺时针力矩）。$R$的垂直距离为 $3.0 \sin 60^\circ$（逆时针力矩）。
3. 应用力矩原理：
4. $$R \times 3.0 \sin 60^\circ = 15g \times 1.5 \cos 60^\circ$$
5. 代入$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 60^\circ = 0.5$，$g=9.8$ m/s²：
6. $$R = \frac{15 \times 9.8 \times 1.5 \times 0.5 \times 2}{3 \times \sqrt{3}} \approx 42 \text{ N}$$
7. 墙的水平反作用力约为42 N。

## 常见错误

- **错误做法:** 对倾斜力，用力乘以直线距离而非垂直距离
  - 原因: 力的平行分量不产生转动效应，因此这会高估或低估力矩大小
  - 正确做法: 始终使用$M = Fd \sin\theta$来算力和转轴距离之间的夹角影响
- **错误做法:** 当力作用在轮的对边时，计算力偶矩使用半径而非直径
  - 原因: 力偶矩使用力偶两个力之间的垂直距离，这里是直径不是半径
  - 正确做法: 始终直接测量两个力作用线之间的垂直距离
- **错误做法:** 将均匀梁的重力作用点取在转轴或端点而非中点
  - 原因: 这会得到错误的梁自身重力的力矩，而梁重力几乎总是考试题目中包含的
  - 正确做法: 开始计算前，先在均匀物体的中点标记出质心位置
- **错误做法:** 认为力偶矩的大小取决于转轴位置
  - 原因: 这混淆了力偶矩和单个力的力矩；力偶的合力为零，因此其转动效应是恒定的
  - 正确做法: 记住：和单个力的力矩不同，力偶矩与转轴位置无关
- **错误做法:** 应用力矩原理时混淆力矩的方向（顺时针/逆时针）
  - 原因: 相反方向的力矩会抵消，方向错误会导致最终结果错误
  - 正确做法: 分组求和前，始终将每个力矩标记为顺时针或逆时针

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 力矩 | $M = F d_\perp = F d \sin\theta$ | $d$ = 转轴到作用点距离，$\theta$ = $F$与$d$的夹角 |
| 力偶矩 | $\tau = F d$ | $d$ = 两个力之间的垂直距离，与转轴位置无关 |
| 力矩原理 | $\sum M_{clockwise} = \sum M_{anticlockwise}$ | 转动平衡时对任意转轴都成立 |
| 完全平衡 | 1. $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$ 2. $\sum M = 0$ | 完全平衡需要满足两个条件 |

## 下一步

力矩和力偶矩是CIE A-Level力学后续主题的基础概念，包括质心计算、扩展物体的静平衡和A-Level转动运动。掌握本子主题对于解答选择题卷1和结构化问题卷2中的计算题至关重要，在每次考试中都频繁出现。力矩原理也是本课程后续理解更复杂动力系统的基础。

- [密度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-density/)
- [流体压强](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-fluid-pressure/)
- [功、能量和功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u5-overview/)

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