# 力的平衡

> CIE A-Level 物理学 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-force-equilibrium/

本小节介绍刚体力平衡的两个核心条件，讲解如何分解力、应用力矩原理解决常见静力学问题，包括梯子、梁和力偶系统问题。

**先修:** [二维力的分解](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-force-resolution/); [力矩的基本概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-moment-of-force/)

## 学习目标

- 区分刚体的平动平衡与转动平衡
- 应用力矩原理求解静平衡问题
- 对完全平衡的系统进行二维力的分解
- 计算力偶系统的力矩

## 完全平衡的条件

任何刚体要保持完全静止（无线加速度和角加速度），必须满足两个独立条件。两个条件都满足才能称为完全平衡。

**完全平衡** — 当且仅当同时满足以下两个条件时，刚体处于完全平衡：(1) 任意方向的合外力为零（平动平衡），(2) 任意点的合外力矩为零（转动平衡）。

*例:* 静止靠在墙上的梯子处于完全平衡，而以恒定速度运动的旋转陀螺仅处于平动平衡，不处于转动平衡。

**例题:** 一个物体受三个力：沿x轴向右10 N，沿x轴向左6 N，沿y轴向上8 N。该物体是否处于平动平衡？如果不处于，合外力是多少？

1. 先对x轴方向力求和：

   $$\sum F_x = 10 - 6 = 4 \text{ N}$$
2. 再对y轴方向力求和：

   $$\sum F_y = 8 \text{ N}$$
3. 平动平衡要求合外力为零。计算合外力的大小：

   $$F_{resultant} = \sqrt{(4)^2 + (8)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8.94 \text{ N}$$
4. 结论：由于合外力不为零，该物体不处于平动平衡。

> **考试提示:** 即使题目只要求解一个力，你也必须同时检查两个平衡条件。很多学生忘记检查转动平衡，最终得到错误答案。

## 应用力矩原理

力矩原理是转动平衡条件的直接推论，它指出：对于处于转动平衡的任意物体，绕任意支点的顺时针力矩之和等于绕同一支点的逆时针力矩之和。

> **tip**
>
> 为了简化计算，选择未知力的作用点作为支点。由于该力到支点的距离为零，因此可以将它从力矩方程中消去。

**例题:** 一根长4.0 m的均匀梁质量为20 kg，支点在距离左端1.0 m处。左端悬挂一个30 kg的物体。右端需要悬挂多大质量的物体才能让梁保持水平平衡？

1. 均匀梁的重力作用在中心，距离左端2.0 m，即支点右侧1.0 m处。右端在支点右侧3.0 m处。重力加速度g会被消去，因此我们可以提前省略它。
2. 计算总逆时针力矩（支点左侧）：

   $$M_{anticlockwise} = (30g)(1.0) = 30g$$
3. 计算总顺时针力矩（支点右侧，包含梁的重力）：

   $$M_{clockwise} = (20g)(1.0) + M g (3.0) = 20g + 3Mg$$
4. 根据力矩原理令两个力矩相等：

   $$30g = 20g + 3Mg$$
5. 消去g，整理得M：

   $$10 = 3M \implies M = \frac{10}{3} \approx 3.3 \text{ kg}$$
6. 最终答案：需要约3.3 kg的质量。

## 梯子与带铰链梁问题求解

CIE考试中大多数平衡相关考题要么是靠在墙上的梯子，要么是带铰链的梁。这类问题需要同时应用两个平衡条件：力平衡和力矩平衡。

1. 对于梯子：地面同时施加法向反作用力和摩擦力（平衡墙的水平力），除非另有说明，否则墙面默认是光滑的（无摩擦力）。
2. 对于带铰链的梁：铰链会施加一个未知反作用力，包含水平和竖直分量，你可以先通过力矩求出未知量，再用力平衡求解铰链反力。
3. 除非题目明确说明物体是*轻质*（无质量），否则必须考虑物体的重力。

**例题:** 一根长度为L、质量为m的均匀梯子靠在光滑竖直墙上，梯子底端在粗糙水平地面上，距离墙d。用m、g、L和d表示地面的摩擦力大小。

1. 标注所有力：法向反力N（水平，来自光滑墙），法向反力R（竖直，来自地面），摩擦力f（地面处水平，平衡N），重力mg作用在L/2处（梯子中点）。
2. 对梯子底端取力矩，消去f和R。梯子顶端高度为：$h = \sqrt{L^2 - d^2}$
3. 令N的逆时针力矩等于mg的顺时针力矩：

   $$N\sqrt{L^2-d^2} = mg \frac{d}{2}$$
4. 求解N：

   $$N = \frac{mg d}{2 \sqrt{L^2-d^2}}$$
5. 水平力平衡：合外力为零，因此 $f = N$

   $$f = \frac{mg d}{2 \sqrt{L^2 - d^2}}$$

> **考试提示:** 务必仔细读题，确认墙面是光滑还是粗糙。粗糙墙面会在计算中额外增加一个竖直摩擦力未知量。

## 力偶与力矩计算

**力偶** — 力偶是由两个大小相等、方向相反、相互平行，且被垂直距离隔开的力组成的系统。力偶不产生合外力，仅产生合转矩（转动效应）。

*记法:* \tau

*例:* 转动汽车方向盘时施加的力就是一个力偶。

力偶的转矩（总力矩）大小对任意支点都是恒定的，等于单个力的大小乘以两个力作用线之间的垂直距离。

**例题:** 直径40 cm的方向盘对边分别施加了15 N的力，形成一个力偶。求该力偶的力矩大小。

1. 将直径转换为米：$d = 40 \text{ cm} = 0.40 \text{ m}$。两个力之间的垂直距离等于直径。
2. 使用力偶力矩公式 $\tau = F \times d$

   $$\tau = 15 \text{ N} \times 0.40 \text{ m} = 6.0 \text{ Nm}$$
3. 最终答案：无论选择哪个支点，该力偶的力矩都是6.0 Nm。

## 常见错误

- **错误做法:** 题目没有明确提到时，忽略梁/梯子的重力
  - 原因: CIE几乎总是要求你考虑刚体的重力，除非它明确被称为'轻质'或'无质量'
  - 正确做法: 始终检查是否有'轻质'一词——如果没有，就要加上重力，作用在均匀物体的质心处
- **错误做法:** 计算力矩时使用支点到力作用点的直线距离而非垂直距离
  - 原因: 力矩的定义是力乘以支点到力作用线的垂直距离，不是到力作用点的距离
  - 正确做法: 始终将力分解为垂直于物体和平行于物体的分量，或计算支点到力作用线的垂直距离，才能得到正确的力矩值
- **错误做法:** 仅应用一个平衡条件（要么力平衡要么力矩平衡）
  - 原因: 完全平衡需要两个条件，缺少一个会留下未知量或得到错误的力值
  - 正确做法: 写下$\sum F_x = 0$、$\sum F_y = 0$和所选支点处$\sum M = 0$，得到足够的方程求解所有未知量
- **错误做法:** 假设所有墙面都会对梯子施加摩擦力
  - 原因: 除非另有说明，CIE考题默认竖直墙面是光滑的（无摩擦力），仅施加水平法向力
  - 正确做法: 只有题目明确说明墙面粗糙时，才需要加上墙面的摩擦力

## 速查表

| 概念 | 公式/规则 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 完全平衡 | $\sum F_x = 0, \sum F_y = 0, \sum M = 0$ | 三个条件都必须满足 |
| 力矩原理 | 顺时针力矩之和 = 逆时针力矩之和 | 适用于任意支点 |
| 力偶的力矩 | $\tau = F \times d$ | d = 两个力之间的垂直距离 |
| 均匀物体的重力 | 作用在物体中点 | 除非物体是'轻质'否则必须考虑 |
| 光滑墙面 | 仅存在水平法向力 | 无竖直摩擦力 |

## 下一步

力的平衡是CIE A-Level物理后续多个主题的核心基础，包括流体静力学、圆周运动和刚体转动。掌握平衡问题求解技巧——尤其是选择最优支点和正确分解力——能帮你在选择题（试卷1）和结构化问答题（试卷2）中节省时间、多得分数。本小节在AS和A-Level试卷中都经常考查，因此非常建议你定期练习梯子和梁问题，提升解题速度和准确率。

- [力矩与力偶矩](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-moment-and-torque/)
- [密度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-density/)
- [流体压强](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-fluid-pressure/)

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