非线性数据分析

CIE A-Level 物理· Unit 30: Practical Skills in Physics· 5 分钟阅读

1. 线性化原理★★☆☆☆⏱ 15 min

当实验数据遵循非线性关系时，你无法直接通过绘制数据点的直线求解未知常数。相反，你需要变换变量，得到符合标准形式 $Y = m X + c$ 的直线，其中 $Y$ 和 $X$ 是变换后的变量， $m$ 是斜率， $c$ 是y轴截距。

📘 定义

线性化

将非线性数学关系重新整理为标准直线形式，从而可以通过图形计算未知常数的过程。

例:

将 $y = k x^{n}$ 整理得到 $l g y = n l g x + l g k$

📐 例题

物理量 $P$ 随 $Q$ 变化的关系为 $P = \frac{a}{Q + b}$ 。将该关系转化为线性形式，用 $a$ 和 $b$ 表示 $Y$ 、 $X$ 、 $m$ 和 $c$ 。

1
从原非线性关系开始：
2
$P = \frac{a}{Q + b}$
3
对两边取倒数并整理：
4
$\frac{1}{P} = \frac{Q + b}{a} = \frac{1}{a} Q + \frac{b}{a}$
5
对比 $Y = m X + c$ 识别所有项： $Y = \frac{1}{P}$ ， $X = Q$ ，斜率 $m = \frac{1}{a}$ ，截距 $c = \frac{b}{a}$

Exam tip:

在5号试卷中，始终写出完整的整理过程。即使你之后犯了小错误，你仍然可以因为正确识别 $Y$ 和 $X$ 获得分数。

2. 幂定律关系 ($y = kx^n$)★★★☆☆⏱ 20 min

幂定律是CIE 5号试卷中最常考察的非线性关系。无论 $n$ 取值如何，任何幂定律都可以通过对数变换线性化。这需要使用双对数坐标图，两个坐标轴都变换为对数刻度。

\lg y = \lg (k x^n) = n \lg x + \lg k

对于该关系，直线的斜率等于 $n$ （幂次），截距等于 $l g k$ 。对截距进行反对数运算即可得到 $k = 1 0^{intercept}$ 。

📐 例题

单摆的周期 $T$ 与摆长 $l$ 的关系为 $T = k l^{n}$ 。 $l g T$ 对 $l g l$ 的最佳拟合直线斜率为0.498，y轴截距为0.116。求 $n$ 和 $k$ 。

1
确认线性化形式： $l g T = n l g l + l g k$ ，因此斜率 = $n$ ，截距 = $l g k$
2
直接读取斜率得到 $n = 0.498 \approx 0.50$ （保留2位有效数字）
3
对截距进行反对数运算求 $k$ ：
4
$k = 10^{0.116} \approx 1.3$

3. 指数关系★★★☆☆⏱ 15 min

指数关系常见于衰变、冷却和增长实验中，形式为 $y = y_{0} e^{k x}$ 或 $y = y_{0} a^{x}$ ，需要使用半对数坐标图（一个坐标轴对数、一个线性）进行线性化。

📘 定义

半对数坐标图

用于指数关系的线性绘图，仅因变量绘制在对数刻度上。这和幂定律使用的双对数坐标图不同，双对数坐标图中两个变量都用对数刻度。

📐 例题

放射性活度 $A$ 随时间 $t$ 变化的关系为 $A = A_{0} e^{- λ t}$ 。将其转化为线性形式并说明如何求解 $λ$ 。

1
对原方程两边取自然对数：
2
$\ln A = \ln (A_0 e^{-\lambda t})$
3
利用对数运算法则化简得到线性形式：
4
$\ln A = -\lambda t + \ln A_0$
5
对比 $Y = m X + c$ 可得： $Y = ln A$ ， $X = t$ ，斜率 $m = - λ$ 。计算最佳拟合直线的斜率后，取负值即可得到 $λ$ 。

✓ 快速检测

测试你对坐标轴选择的理解：

你会选择什么坐标轴来线性化 $y = 2 \times 5^{x}$ ？
- 绘制 $ln y$ 对 $x$
- 绘制 $y$ 对 $ln x$
- 绘制 $l g y$ 对 $ln x$
- 绘制 $1/ y$ 对 $x$

4. 变换后常数的不确定度★★★★☆⏱ 20 min

得到变换后直线的斜率和截距的不确定度后，你需要传递该不确定度，得到最终未知常数的不确定度。对于CIE考试，最简单可靠的方法是最大/最小法。

📐 例题

已知 $k = 1 0^{c}$ ，其中 $c = 0.116 \pm 0.012$ 。计算 $k$ 的绝对不确定度。

1
计算 $c$ 取最大值时 $k$ 的最大可能值：
2
$k_{max} = 10^{0.116 + 0.012} = 10^{0.128} \approx 1.34$
3
计算 $c$ 取最小值时 $k$ 的最小可能值：
4
$k_{min} = 10^{0.116 - 0.012} = 10^{0.104} \approx 1.27$
5
绝对不确定度等于最大值和最小值之差的一半：
6
$\Delta k = \frac{k_{max} - k_{min}}{2} = \frac{1.34 - 1.27}{2} \approx 0.04$
7
最终结果： $k = 1.3 \pm 0.04$

Exam tip:

如果你只给出斜率/截距的不确定度，没有将其传递得到最终未知常数的不确定度，你会被扣分。

5. 常见陷阱

错误做法:

混淆x轴和y轴对应的变量

原因:

绘图前没有写出完整的整理后的方程

正确做法:

绘图前始终先写出完整整理后的线性方程，再将 $Y$ 对应y轴、 $X$ 对应x轴

错误做法:

直接将截距作为常数的最终结果，忘记进行反对数运算

原因:

从图上读出截距后就停止计算了

正确做法:

如果 $c = l g k$ ，提交最终答案前始终计算 $k = 1 0^{c}$ （自然对数时为 $k = e^{c}$ ）

错误做法:

双对数坐标图中混用对数底数（一个变量用10底，另一个用自然对数）

原因:

错误认为只要都是对数，底数不影响结果

正确做法:

所有变换后的对数变量始终使用相同的底数。混用底数会改变斜率，得到错误结果

错误做法:

对对数变换后的常数使用小百分比不确定度近似

原因:

记住了线性关系的近似，错误地用在这里

正确做法:

始终使用最大/最小法计算变换后常数的不确定度，该方法在考试中更简单可靠

错误做法:

选择两个距离很近的点计算斜率，而不是利用整条直线的长度

原因:

使用表格中的数据点而不是最佳拟合直线上的点

正确做法:

始终在最佳拟合直线的两端各选一个点计算斜率，减小斜率的绝对不确定度

6. 速查表

原关系	Y (y轴)	X (x轴)	斜率	截距
$y = k x^{n}$	$l g y$ / $ln y$	$l g x$ / $ln x$	$n$	$l g k$ / $ln k$
$y = y_{0} e^{k x}$	$ln y$	$x$	$k$	$ln y_{0}$
$y = y_{0} a^{x}$	$l g y$ / $ln y$	$x$	$l g a$ / $ln a$	$l g y_{0}$ / $ln y_{0}$
$y = \frac{a}{x + b}$	$1/ y$	$x$	$1/ a$	$b / a$
$y^{2} = a x + b$	$y^{2}$	$x$	$a$	$b$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 5
幂定律线性化，求解n和k
2022 · 5
指数衰减，求解衰变常数
2021 · 5
倒数关系，求解两个常数

深入阅读

syllabusCIE 9702 A-Level 物理大纲

下一步

非线性数据分析是CIE A-Level物理5号试卷的核心技能，5号试卷占你最终A-Level成绩的20%。掌握线性化可以让你用实验数据检验理论物理模型，从结果中提取未知常数，这是所有实验物理工作的基础。你在这里学习的技能适用于所有实验主题，从放射性衰变到单摆运动和平方反比定律实验。接下来，你可以在此基础上学习计算值的不确定度传递和实验设计，这是5号试卷考察的另外两项核心技能。