# 线动量

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-linear-momentum/

本子主题涵盖线动量、冲量、动量守恒定律以及碰撞分类。你将学习如何解决CIE A-Level考试中常见的一维碰撞和爆炸问题。

**先修:** [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-newtons-laws-of-motion/); [矢量运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u1-kinematics/)

## 学习目标

- 定义线动量和冲量，并将其与牛顿第二定律联系起来
- 阐述并应用线动量守恒定律解决一维相互作用问题
- 通过验证动能是否守恒将碰撞分为弹性碰撞和非弹性碰撞
- 解决涉及碰撞和反弹的标准考试问题

## 线动量与冲量

**线动量** — 动量是物体质量与速度的乘积，是矢量，方向与物体的速度方向一致。

*记法:* \vec{p}

*例:* 一个质量为3 kg的木块以2 m s⁻¹向右运动，动量为 $p = 3 \times 2 = 6$ kg m s⁻¹，方向向右。

冲量描述了力在一段时间内作用，改变物体动量的效应。

**冲量** — 冲量等于作用在物体上的平均力与接触时间的乘积，也等于物体动量的变化量：$J = F_{\text{avg}} \Delta t = \Delta p$。

*记法:* $J$

**例题:** 一个质量为0.15 kg的球以10 m s⁻¹朝向墙壁运动，反弹后沿同一直线以8 m s⁻¹运动。计算墙壁对球施加的冲量。

1. 定义正方向为远离墙壁方向。初速度 $u = -10$ m s⁻¹，末速度 $v = +8$ m s⁻¹。
2. 冲量等于动量变化量 $\Delta p = m(v - u)$：
3. $$J = 0.15 \left(8 - (-10)\right) = 0.15 \times 18 = 2.7 N s$$
4. 墙壁对球施加的冲量为2.7 N s，方向远离墙壁。

> **考试提示:** 一定要先定义正方向，避免反弹冲量计算中出现符号错误。

## 动量与牛顿第二定律

牛顿最初对第二运动定律的表述是用动量而非加速度写出的，这种形式对质量恒定和变化的情况都适用。

**牛顿第二定律（动量形式）** — 作用在物体上的合外力等于物体线动量的变化率。

*例:* 质量恒定的情况下: $F_{\text{net}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m\Delta v}{\Delta t} = ma$，与标准形式$F=ma$一致。

**例题:** 一个大小为12 N的恒定合外力作用在一个初始静止、质量为4 kg的物体上，求3秒后物体的动量。

1. 整理牛顿第二定律求解动量变化量：
2. $$\Delta p = F_{\text{net}} \Delta t = 12 \times 3 = 36 kg m s^{-1}$$
3. 初始动量为0，因此末动量等于动量变化量。
4. 末动量 = $36$ kg m s⁻¹

> **tip**
>
> 这种动量形式用于变质量问题，例如火箭推进，这类问题会出现在CIE的拓展题中。

## 线动量守恒定律

动量守恒定律是CIE A-Level动力学中考察频率最高的知识点之一。

**线动量守恒定律** — 对于不受合外力作用的封闭系统，系统的总线动量保持恒定。也就是说，相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量。

**例题:** 一辆质量为5000 kg的卡车以12 m s⁻¹运动，与静止的质量为1000 kg的汽车相撞，碰撞后两者沿同一直线一起运动，求碰撞后它们的共同速度。

1. 计算碰撞前的总动量：
2. $$p_{before} = m_{truck}u_{truck} + m_{car}u_{car} = (5000 \times 12) + (1000 \times 0) = 60000 kg m s^{-1}$$
3. 根据动量守恒，$p_{after} = p_{before} = 60000$ kg m s⁻¹。总质量 $= 5000 + 1000 = 6000$ kg。设 $v$ = 共同速度：
4. $$6000 v = 60000 \implies v = 10 m s^{-1}$$
5. 碰撞后的共同速度为10 m s⁻¹。

> **考试提示:** 对于碰撞后物体粘在一起的情况，一定要检查质量相加是否正确。

## 弹性碰撞与非弹性碰撞

碰撞根据相互作用过程中动能是否守恒分类：

- **弹性碰撞**：总动量和总动能都守恒。
- **非弹性碰撞**：只有总动量守恒；动能转化为热能、声能或其他形式，因此总动能减少。
- **完全非弹性碰撞**：碰撞后物体粘在一起，动能损失最大。

**例题:** 通过计算动能变化，证明上一个例子中卡车与汽车的碰撞是非弹性碰撞。

1. 计算碰撞前的总初始动能：
2. $$KE_{initial} = \frac{1}{2}m_{truck}u_{truck}^2 = 0.5 \times 5000 \times 12^2 = 360000 J$$
3. 计算碰撞后的总末动能：
4. $$KE_{final} = \frac{1}{2}(m_{truck} + m_{car})v^2 = 0.5 \times 6000 \times 10^2 = 300000 J$$
5. 碰撞过程中损失了60000 J的动能，因此动能不守恒，碰撞为非弹性碰撞。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记动量是矢量，相加相反方向的动量时忽略符号
  - 原因: 没有考虑方向会导致系统总动量计算错误
  - 正确做法: 计算开始前一定要定义正方向，给相反方向运动的动量加上负号
- **错误做法:** 认为和动量一样，所有碰撞中动能都守恒
  - 原因: 很多学生混淆了动量和动能的守恒规则
  - 正确做法: （无外力时）动量总是守恒，只有弹性碰撞中动能才守恒
- **错误做法:** 不定义方向约定，直接将两个速率取正值，用$m(v + u)$计算反弹冲量
  - 原因: 如果方向没有正确处理，会导致大小计算错误
  - 正确做法: Always use $\Delta p = m(v - u)$ with correct signed values for initial and final velocity
- **错误做法:** 系统受到摩擦力等外力作用时仍然应用动量守恒
  - 原因: 动量守恒定律仅适用于无合外力的封闭系统
  - 正确做法: 只有当系统不受外力，或者相互作用时间极短，外力不足以改变总动量时，才能使用动量守恒

## 速查表

| 物理量/概念 | 公式 | 核心要点 |
| --- | --- | --- |
| 线动量 | $p = mv$ | 矢量，单位 kg m s⁻¹ |
| 冲量 | $J = F\Delta t = \Delta p$ | 等于动量变化量 |
| 牛顿第二定律 | $F_{net} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ | 定律的原始通用形式 |
| 动量守恒 | $\sum p_{before} = \sum p_{after}$ | 适用于无外力的封闭系统 |
| 弹性碰撞 | - | 动量和动能都守恒 |
| 非弹性碰撞 | - | 只有动量守恒，动能损失 |

## 下一步

线动量是动力学的核心基础概念，是CIE A-Level物理几乎所有后续知识点的基础，从圆周运动、能量到粒子物理和碰撞实验都离不开它。掌握符号约定和动量守恒的应用，能帮助你解决各个单元中大量的结构化题目和选择题。学完本子主题后，你可以继续学习动力学和能量中更高级的相互作用和相关知识点。

- [动量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-conservation-of-momentum/)
- [碰撞](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-collisions/)
- [质量与重量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-mass-and-weight/)

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