# 动量守恒

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-conservation-of-momentum/

本子主题讲解线动量守恒定律，及其在一维碰撞、爆炸问题中的应用，以及如何区分弹性碰撞和非弹性碰撞。这是核心考点，选择题和结构化问答题都会考查。

**先修:** [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-newtons-laws/); [线动量与冲量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-momentum-impulse/)

## 学习目标

- 阐述线动量守恒定律
- 将动量守恒应用于碰撞和爆炸问题
- 区分弹性碰撞和非弹性碰撞
- 解答CIE考试中的一维动量问题

## 动量守恒定律

**线动量守恒定律** — 对于相互作用物体构成的封闭系统，只要系统不受合外力作用，系统在任意方向上的总线动量保持不变。

该定律直接由牛顿第三定律推导得出：当两个物体相互作用时，它们对彼此的作用力大小相等、方向相反，因此系统的总动量变化为零。

$$\sum p_{initial} = \sum p_{final} \quad \text{where} \quad p = mv$$

**例题:** 一个质量为2 kg的物体以3 m·s⁻¹向右运动，与静止的1 kg物体碰撞。碰撞后的总动量是多少？

1. 规定向右为正方向
2. 计算总初动量：
3. $$p_{initial} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = (2 \times 3) + (1 \times 0) = 6 \text{ kg m s}^{-1}$$
4. 根据动量守恒定律，总末动量等于总初动量
5. 总末动量 = 6 kg m s⁻¹

> **考试提示:** 回答CIE结构化问答题时，务必完整阐述定律，才能拿到满分。

## 弹性碰撞与非弹性碰撞

封闭系统中所有碰撞都满足动量守恒，但根据动能是否守恒可以将碰撞分类。

**弹性碰撞** — 总动量和总动能都守恒的碰撞

*例:* 理想台球碰撞、气体分子之间的碰撞

**非弹性碰撞** — 总动量守恒，但动能不守恒，动能转化为热能、声能或形变能

*例:* 汽车碰撞、撞击后粘在表面上的小球

**例题:** 一个质量0.5 kg的小球以4 m·s⁻¹正对撞静止的另一个0.5 kg小球。碰撞后第一个小球静止，第二个小球以4 m·s⁻¹运动。证明该碰撞是弹性碰撞。

1. 验证动量守恒：
2. $$p_{initial} = (0.5 \times 4) + (0.5 \times 0) = 2 \text{ kg m s}^{-1} \\ p_{final} = (0.5 \times 0) + (0.5 \times 4) = 2 \text{ kg m s}^{-1}$$
3. 计算初动能和末动能：
4. $$KE_{initial} = \frac{1}{2}(0.5)(4)^2 + 0 = 4 \text{ J} \\ KE_{final} = 0 + \frac{1}{2}(0.5)(4)^2 = 4 \text{ J}$$
5. 动能没有变化，因此该碰撞是弹性碰撞

> **考试提示:** CIE几乎每次都会考查区分弹性碰撞和非弹性碰撞，所以一定要记住两个定义。

## 爆炸与反冲

爆炸是碰撞的逆过程：一个静止物体分裂为两个或多个部分。总初动量为零，因此根据动量守恒，总末动量也必须为零。各部分以大小相等的动量向相反方向运动，导致较大物体产生反冲。

**例题:** 一门质量1000 kg的静止大炮发射出一颗质量10 kg的炮弹，炮弹速度为150 m·s⁻¹。计算大炮的反冲速度。

1. 规定炮弹运动方向为正。由于大炮原本静止，总初动量为0。
2. 应用动量守恒定律：
3. $$0 = m_{ball} v_{ball} + m_{cannon} v_{cannon}$$
4. 整理式子求解反冲速度：
5. $$v_{cannon} = - \frac{m_{ball} v_{ball}}{m_{cannon}} = - \frac{10 \times 150}{1000} = -1.5 \text{ m s}^{-1}$$
6. 负号表示大炮运动方向与炮弹相反，反冲速度大小为1.5 m s⁻¹

> **tip**
>
> 对于静止物体的爆炸问题，总初动量一定从零开始计算，这样可以简化计算。

## 常见错误

- **错误做法:** 忽略动量是矢量，因此没有为相反方向的速度添加符号
  - 原因: 这会导致相向运动物体的总动量计算错误
  - 正确做法: 解题开始时就规定正方向，相反方向的速度使用负号
- **错误做法:** 声称所有碰撞中动能都守恒
  - 原因: 只有弹性碰撞动能守恒；几乎所有实际碰撞都是非弹性碰撞
  - 正确做法: 只有题目明确说明碰撞是弹性碰撞时，才能说动能守恒
- **错误做法:** 对受合外力作用的系统应用动量守恒定律
  - 原因: 动量守恒定律只适用于不受合外力的封闭系统
  - 正确做法: 应用定律前，先检查系统是否存在不平衡外力（例如摩擦力）
- **错误做法:** 计算爆炸后的反冲速度时混淆质量和速度
  - 原因: 动量变化固定时，反冲速度与质量成反比
  - 正确做法: 先令总初动量为零，再利用动量大小相等方向相反求解未知速度

## 速查表

| 概念 | 核心规则 | 公式 |
| --- | --- | --- |
| 动量守恒 | 封闭系统，无外力 | $\sum p_{initial} = \sum p_{final}$ |
| 弹性碰撞 | 动量和动能都守恒 | $KE_{initial} = KE_{final}$ |
| 非弹性碰撞 | 只有动量守恒 | $KE_{initial} > KE_{final}$ |
| 静止爆炸 | 总初始 $p=0$ | $m_1 v_1 = -m_2 v_2$ |

## 下一步

动量守恒是一条基本守恒定律，可推广到二维问题，广泛应用于物理学多个领域，包括核反应中，帮助计算α粒子等发射粒子的动量。它也与牛顿运动定律密切相关，是冲量、力的相互作用等概念的基础。掌握一维动量问题对CIE A-Level考试中所有动力学题目都至关重要，也为后续学习更复杂的问题做好准备。

- [碰撞](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-collisions/)
- [质量与重量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-mass-and-weight/)
- [力、密度与压强](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-overview/)

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