# 碰撞

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-collisions/

本模块讲解碰撞的分类、守恒定律的应用以及一维和二维碰撞的动能变化计算，是CIE A-Level动力学的核心考点，选择题和结构化问题均会考查。

**先修:** [线动量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-conservation-momentum/); [动能计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-work-energy-power/)

## 学习目标

- 区分弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞
- 应用动量守恒求解一维和二维碰撞问题
- 计算碰撞中的动能变化
- 使用弹性碰撞的相对速度关系在考试中节省时间

## 碰撞的分类

**弹性碰撞** — 碰撞过程中总线动量和总动能都守恒，没有动能转化为热能、声能、形变能等其他形式。

*例:* 理想气体分子间的碰撞

**非弹性碰撞** — 碰撞过程中总动量守恒，但总动能不守恒，部分动能在碰撞过程中转化为其他能量形式。

*例:* 车祸

**完全非弹性碰撞** — 非弹性碰撞的特殊情况：两个碰撞物体碰撞后粘在一起，以单一共同末速度运动。

*例:* 子弹嵌入木块

> **info**
>
> 在CIE考试中，除非明确要求你证明碰撞是弹性的，否则题目总会提前告知碰撞是否为弹性。

**例题:** 一个质量为2 kg的物体以3 m/s运动，与静止的1 kg物体碰撞。碰撞后，2 kg物体沿原方向以1 m/s运动，1 kg物体以4 m/s运动。对该碰撞进行分类。

1. 计算总初动能：
2. $$KE_{initial} = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}(2)(3)^2 + 0 = 9 \text{ J}$$
3. 计算总末动能：
4. $$KE_{final} = \frac{1}{2}(2)(1)^2 + \frac{1}{2}(1)(4)^2 = 1 + 8 = 9 \text{ J}$$
5. 验证动量守恒：初动量 = $2 \times 3 = 6$ kg m/s，末动量 = $(2 \times 1) + (1 \times 4) = 6$ kg m/s。两个物理量都守恒。
6. 结论：该碰撞是弹性碰撞。

*计算器:* allowed

## 求解一维弹性碰撞

对于所有弹性碰撞，我们有两个守恒定律可以使用：动量守恒和动能守恒。这给出两个方程，用于求解两个未知的末速度：

$$m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2 \quad (\text{conservation of momentum})$$

$$\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 \quad (\text{conservation of KE})$$

整理这些方程可以得到一个非常实用的考试捷径：接近速度等于分离速度：

$$u_1 - u_2 = v_2 - v_1$$

**例题:** 一个0.5 kg的小球以6 m/s向右运动，与一个同样向右运动、速度为2 m/s的0.25 kg小球发生弹性碰撞。求两个小球碰撞后的末速度。

1. 定义变量：$u_1 = 6$ m/s，$u_2 = 2$ m/s，$m_1 = 0.5$ kg，$m_2 = 0.25$ kg。我们需要求$v_1$和$v_2$。
2. 应用动量守恒：
3. $$(0.5)(6) + (0.25)(2) = 0.5v_1 + 0.25v_2 \implies 14 = 2v_1 + v_2$$
4. 应用接近速度/分离速度关系：
5. $$u_1 - u_2 = v_2 - v_1 \implies 6 - 2 = v_2 - v_1 \implies 4 = v_2 - v_1$$
6. 解方程组：将$v_2 = v_1 + 4$代入第一个方程：$14 = 2v_1 + v_1 + 4 \implies 3v_1 = 10 \implies v_1 = 3.33$ m/s。因此$v_2 = 3.33 + 4 = 7.33$ m/s。

> **考试提示:** 使用相对速度关系代替重新推导动能守恒，可以在考试中节省2分钟以上的时间。

*计算器:* allowed

## 完全非弹性碰撞

在完全非弹性碰撞中，两个物体碰撞后粘在一起，因此具有相同的末速度。这简化了计算，因为我们只有一个未知速度，仅通过动量守恒就可以求出。

**共同末速度** — 完全非弹性碰撞后，粘在一起的两个物体组成的整体的单一速度。

**例题:** 一颗质量为10 g的子弹以400 m/s的速度射入静止的1 kg木块。计算碰撞后的共同速度，以及损失的动能。

1. 转换为国际单位制：$m_1 = 10$ g = $0.01$ kg，$m_2 = 1$ kg，$u_1 = 400$ m/s，$u_2 = 0$。
2. 应用动量守恒，总末质量为$m_1 + m_2$：
3. $$m_1u_1 + m_2u_2 = (m_1 + m_2)v$$
4. $$(0.01)(400) + 0 = (1.01)v \implies v = \frac{4}{1.01} \approx 3.96 \text{ m/s}$$
5. 计算初动能和末动能：
6. $$KE_{initial} = \frac{1}{2}(0.01)(400)^2 = 800 \text{ J}$$
7. $$KE_{final} = \frac{1}{2}(1.01)(3.96)^2 \approx 7.92 \text{ J}$$
8. 损失的动能 = $800 - 7.92 \approx 792$ J，转化为热能和形变能。

*计算器:* allowed

## 二维碰撞

对于二维斜碰撞，动量守恒分别适用于相互垂直的x分量和y分量。如果碰撞是弹性的，动能也守恒。

**例题:** 一个静止的相同小球，被另一个速度为5 m/s的相同小球撞击。弹性碰撞后，原静止小球以3 m/s沿与入射球原方向成90°的方向运动，求入射球的末速度。

1. 将入射球的原方向设为x轴，两个小球质量相等（均为$m$）。
2. 碰撞前总y方向动量为0，因此碰撞后：
3. $$0 = m v_{1y} + m (3) \implies v_{1y} = -3 \text{ m/s}$$
4. 碰撞前总x方向动量为$5m$，碰撞后原静止小球x方向速度为0，因此：
5. $$5m = m v_{1x} + 0 \implies v_{1x} = 5 \text{ m/s}$$
6. 弹性碰撞应用动能守恒：
7. $$\frac{1}{2}m (5)^2 = \frac{1}{2}m v_1^2 + \frac{1}{2}m (3)^2 \implies 25 = v_1^2 + 9 \implies v_1 = 4 \text{ m/s}$$

> **考试提示:** 求解二维碰撞问题时，一定要将动量分解为相互垂直的x分量和y分量。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 假设所有碰撞都守恒动能
  - 原因: 只有弹性碰撞守恒动能，所有非弹性碰撞都有动能损失
  - 正确做法: 只有题目明确说明碰撞是弹性的，或者要求你证明碰撞是弹性的时，才假设动能守恒
- **错误做法:** 忘记将质量从克转换为千克再计算
  - 原因: CIE常将克用于子弹/木块问题，会导致结果数量级错误
  - 正确做法: 开始计算前，始终将所有物理量转换为国际单位（质量用千克，速度用米每秒）
- **错误做法:** 记错相对速度公式 $u_2 - u_1 = v_1 - v_2$ 的符号
  - 原因: 方向符号错误会导致末速度结果错误
  - 正确做法: 记住：接近速度（初始相对速度）等于分离速度（末相对速度），两者都是正值
- **错误做法:** 直接对二维碰撞的动量大小进行相加
  - 原因: 动量是矢量，方向不同时大小不能直接代数相加
  - 正确做法: 始终将动量分解为相互垂直的x分量和y分量，分别对每个分量应用守恒定律
- **错误做法:** 将完全非弹性碰撞的末速度当作独立未知量处理
  - 原因: 浪费时间求解不必要的联立方程
  - 正确做法: 使用一个总质量和一个共同末速度，仅通过动量守恒计算即可

## 速查表

| 碰撞类型 | 动量守恒 | 动能守恒 | 核心规则 |
| --- | --- | --- | --- |
| 弹性 | 是 | 是 | 接近速度 = 分离速度 |
| 非弹性 | 是 | 否 | 仅使用动量守恒 |
| 完全非弹性 | 是 | 否 | 物体粘在一起，$m_1u_1 + m_2u_2 = (m_1+m_2)v$ |
| 二维碰撞 | 是（分量独立） | 仅弹性碰撞守恒 | 先分解为x/y分量 |

## 下一步

碰撞是动量守恒的核心应用，是CIE A-Level物理中许多高级主题的基础原理，包括爆炸、火箭推进和核粒子相互作用。掌握碰撞问题求解可以培养你应对所有力学和现代物理主题所需的矢量分析和守恒定律应用能力。完成本子主题后，你可以学习相关主题拓展知识，为考试做准备。

- [质量与重量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-mass-and-weight/)
- [力、密度与压强](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-overview/)
- [常见力的类型](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u4-common-force-types/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-collisions/