# 恒星半径（维恩位移定律、斯特藩-玻尔兹曼定律）

> 物理 · CIE A-Level 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u29-stellar-radii/

本模块将教授你使用两条核心黑体辐射定律，仅通过可观测的光谱数据计算遥远恒星的物理半径，无需进行直接测量。

**先修:** [理解黑体辐射光谱的相关知识](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u29-black-body-radiation/); [球体表面积的基础计算方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-mathematical-skills-for-physics/)

## 学习目标

- 回忆并应用维恩位移定律，将恒星发射的峰值波长与表面温度关联起来
- 使用斯特藩-玻尔兹曼定律计算黑体恒星的总辐射功率（光度）
- 结合两条定律推导并通过可观测物理量计算遥远恒星的半径
- 识别恒星半径计算过程中的常见计算错误

## 维恩位移定律：温度与峰值波长的关联

所有恒星的行为都近似于理想黑体，因此它们的发射强度光谱遵循特征曲线，且在某一单一波长处达到峰值。当恒星温度升高时，该峰值会向更短、更偏蓝的波长方向移动，这一关系由维恩位移定律正式表述。

**维恩位移定律** — 黑体的峰值发射波长与其表面热力学温度的乘积为常数，与该物体的尺寸或组成成分无关。

*记法:* \lambda_{max} T = b

*例:* 一颗与太阳类似的5800 K恒星，其峰值波长约为500 nm，对应可见光中的绿光。

**例题:** 计算一颗发射光谱峰值在350 nm（紫外波段）的恒星的表面温度，已知b = 2.9 × 10⁻³ m·K。

1. 首先将峰值波长转换为国际单位：
2. $$\lambda_{max} = 350 \times 10^{-9} \text{ m}$$
3. 整理维恩定律的表达式，求解温度：
4. $$T = \frac{b}{\lambda_{max}}$$
5. 代入数值：
6. $$T = \frac{2.9 \times 10^{-3}}{350 \times 10^{-9}} \approx 8300 \text{ K}$$

**概念自测**

测试你对维恩定律的理解：

1. 如果一颗恒星的表面温度翻倍，它的峰值发射波长会发生什么变化？

   - 翻倍
   - 减半
   - 变为原来的4倍
   - 保持不变

   *解析:* 维恩定律是反比例关系，因此温度T翻倍会使λ_max变为原来的1/2。

## 斯特藩-玻尔兹曼定律：由温度和半径计算光度

维恩定律给出了恒星的表面温度，而斯特藩-玻尔兹曼定律描述了黑体单位表面积辐射的总功率。将该物理量乘以恒星的总表面积，即可得到恒星的总光度。

**斯特藩-玻尔兹曼定律** — 球形黑体的总光度与其半径的平方、表面热力学温度的四次方均成正比。

*记法:* L = 4 \pi R^2 \sigma T^4

*例:* 一颗半径为太阳2倍、温度与太阳相同的恒星，其光度是太阳的4倍。

**例题:** 计算一颗半径为7.0 × 10⁸ m（与太阳相同）、表面温度为5800 K的恒星的光度，已知σ = 5.67 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴。

1. 写出完整的斯特藩-玻尔兹曼方程：
2. $$L = 4 \pi R^2 \sigma T^4$$
3. 代入所有已知数值：
4. $$L = 4 \times \pi \times (7.0 \times 10^8)^2 \times 5.67 \times 10^{-8} \times (5800)^4$$
5. 分步计算得到最终结果：
6. $$L \approx 3.9 \times 10^{26} \text{ W}$$

> **考试提示:** 注意光度与T⁴成正比，因此表面温度仅升高10%，总辐射功率就会增加约46%。

## 结合两条定律计算恒星半径

对于绝大多数遥远恒星，我们无法直接测量其半径，但可以通过光谱分析观测到峰值波长，通过视亮度和已知距离得到光度。结合两条定律即可求解恒星半径R。

**推导:** 推导恒星半径R的计算公式

*起点:* 维恩定律λ_max T = b 和斯特藩-玻尔兹曼定律 L = 4πR²σT⁴

1. 整理维恩定律，将T表示为λ_max的函数：
2. $$T = \frac{b}{\lambda_{max}}$$
3. 将T的表达式代入斯特藩-玻尔兹曼方程：
4. $$L = 4 \pi R^2 \sigma \left( \frac{b}{\lambda_{max}} \right)^4$$
5. 通过代数变形分离出R：
6. $$R = \sqrt{ \frac{L \lambda_{max}^4 }{4 \pi \sigma b^4} }$$

*结论:* 该最终公式仅需要三个可观测物理量：光度、峰值波长和两个普适常数，即可计算恒星半径。

**例题:** 一颗恒星光度为1.2 × 10²⁸ W，峰值发射波长为420 nm，计算其半径。已知b = 2.9 × 10⁻³ m·K，σ = 5.67 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴。

1. 将峰值波长转换为米：
2. $$\lambda_{max} = 420 \times 10^{-9} \text{ m}$$
3. 将所有数值代入推导得到的半径公式：
4. $$R = \sqrt{ \frac{1.2 \times 10^{28} \times (420 \times 10^{-9})^4 }{4 \times \pi \times 5.67 \times 10^{-8} \times (2.9 \times 10^{-3})^4 } }$$
5. 分别计算分子和分母后再开平方：
6. $$R \approx 2.1 \times 10^9 \text{ m}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 计算前忘记将峰值波长从纳米转换为米
  - 原因: 常数b和σ都使用国际单位米，单位不匹配会导致结果比正确值小/大10⁹倍
  - 正确做法: 代入任何方程前，务必将所有波长值转换为国际单位米
- **错误做法:** 将T⁴项误写为T
  - 原因: 考试压力下很容易误读光度与温度的四次方依赖关系，导致光度结果严重错误
  - 正确做法: 在计算过程中清晰地在T旁标注指数4，最终计算前再次核对
- **错误做法:** 使用圆的面积πR²而非球体的总表面积4πR²
  - 原因: 学生经常将恒星的横截面积与总辐射表面积混淆
  - 正确做法: 明确注意恒星是三维球体，因此总表面积是4πR²而非πR²
- **错误做法:** 认为需要对光谱中的恒星吸收线进行修正
  - 原因: 实际恒星光谱中的吸收线会使测量峰值发生微小偏移，但考试题目已对该情况做了简化
  - 正确做法: 考试题目会明确说明将恒星视为理想黑体，因此不需要对线谱进行修正

## 速查表

| 定律 | 公式 | 关键物理量 | 国际单位 |
| --- | --- | --- | --- |
| 维恩位移定律 | $\lambda_{max} T = b$ | 峰值波长、表面温度 | $\lambda_{max}$ 单位为m，T 单位为K |
| 斯特藩-玻尔兹曼定律 | $L = 4 \pi R^2 \sigma T^4$ | 光度、半径、温度 | L 单位为W，R 单位为m，T 单位为K |
| 恒星半径合并公式 | $R = \sqrt{\frac{L \lambda_{max}^4}{4 \pi \sigma b^4}}$ | 由可观测数据计算半径 | R 单位为m |

## 下一步

你现在已经掌握了计算恒星物理性质的两条核心定律，这是所有后续天文学相关学习的基础技能。接下来你将把这些定律应用到赫罗图（HR图）的恒星分类中，在那里你可以在不同类型恒星的整个生命周期中映射恒星的温度、光度和半径。你还将学习如何使用视差测量计算近邻恒星的距离，这是本模块中通过视亮度计算光度所需的输入量。这些技能将为你学习恒星演化、超巨星、白矮星和中子星的生命周期等进阶主题做好准备。

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