放射性衰变定律

物理· 15 分钟阅读

1. 放射性衰变定律的基础★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

放射性衰变定律

描述大量放射性原子核样品衰变率的统计规律，该定律指出衰变率与当前时刻剩余未衰变原子核的数量成正比。

例:

如果经过一个半衰期后样品剩余一半，那么衰变率也将是初始率的一半。

\frac{dN}{dt} = -\lambda N

📘 定义

衰变常数 ($\lambda$)

衰变定律中的比例常数，等于任意单个未衰变原子核单位时间内发生衰变的概率。单位始终是时间的倒数（例如 $s^{- 1}$ ）。

📐 例题

氚的衰变常数为 $1.5 \times 1 0^{- 3} year^{- 1}$ 。若初始原子核数量为 $5.0 \times 1 0^{12}$ ，写出未衰变原子核数量 $N (t)$ 的表达式。

1
从 $t = 0$ 时 $N = N_{0}$ 的初始条件对衰变微分方程积分：
2
$\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{N} = -\lambda \int_0^t dt$
3
计算积分并整理得：
4
$\ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\lambda t \implies N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
5
代入给定的 $N_{0}$ 和 $λ$ 值：
6
$N(t) = (5.0 \times 10^{12}) e^{-(1.5 \times 10^{-3})t}$

Exam tip:

始终确认衰变的指数是负的：未衰变原子核的数量始终随时间减少。

2. 活度与半衰期的关系★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

活度 ($A$)

A = \left|\frac{dN}{dt}\right|

放射性样品的总衰变率，单位为贝可勒尔（Bq），其中1 Bq = 每秒1次衰变。

例:

一个100 Bq的放射源平均每秒发生100次衰变。

由于 $A = ∣ d N / d t ∣ = λ N$ ，活度同样遵循放射性衰变定律： $A (t) = A_{0} e^{- λ t}$ ，其中 $A_{0} = λ N_{0}$ 是初始活度。

📘 定义

半衰期 ($t_{1/2}$)

原有未衰变原子核中一半发生衰变，或样品活度减少到初始值一半所需的时间。

🔬 推导

目标:

推导半衰期和衰变常数之间的关系

起点:

积分形式衰变定律 $N = N_{0} e^{- λ t}$

1
根据定义，在 $t = t_{1/2}$ 处， $N = \frac{N _{0}}{2}$
2
代入衰变定律： $\frac{N _{0}}{2} = N_{0} e^{- λ t_{1/2}}$
3
约去 $N_{0}$ 并对两边取自然对数： $ln (\frac{1}{2}) = - λ t_{1/2}$
4
化简： $- ln 2 = - λ t_{1/2}$

结果:

关系为： $t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$

📐 例题

钴-60的半衰期为5.27年，计算其以 $s^{- 1}$ 为单位的衰变常数。

1
将半衰期从年转换为秒：
2
$5.27 \text{ 年} = 5.27 \times 365 \times 24 \times 3600 = 1.662 \times 10^8 \text{ s}$
3
整理半衰期公式求解 $λ$ ：
4
$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{1.662 \times 10^8} \approx 4.2 \times 10^{-9} \text{ s}^{-1}$

Exam tip:

计算 $λ$ 前，始终先将半衰期转换为与答案要求一致的时间单位，这是常见的给分点。

3. 解答常见衰变考题★★★☆☆⏱ 5 min

方法对比

解衰变问题有两种常用方法，每种适用于不同场景：

指数 ($e$) 形式

适用于任意 $t$ 值，使用公式 $N = N_{0} e^{- λ t}$

+ 优点: 通用形式，计算衰变常数时必须使用

− 缺点: 计算步骤更多，出现对数错误的概率更高

半衰期幂形式

使用公式 $N = N_{0} (\frac{1}{2})^{n}$ ，其中 $n = t / t_{1/2}$ 是经过的半衰期个数

+ 优点: 处理整数半衰期个数的问题时快很多

− 缺点: 需要求衰变常数的问题不适用

📐 例题

某放射性样品初始活度为4800 Bq。24小时后活度为300 Bq，计算样品的半衰期。

1
使用活度的幂形式： $A = A_{0} (\frac{1}{2})^{t / t_{1/2}}$
2
代入给定值：
3
$300 = 4800 \left(\frac{1}{2}\right)^{24/t_{1/2}}$
4
化简左侧： $\frac{300}{4800} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4}$
5
指数相等： $\frac{24}{t _{1/2}} = 4$
6
求解半衰期得： $t_{1/2} = 6 小时$

✓ 快速检测

测试你的理解

若初始活度为1000 Bq，经过3个半衰期后的活度是多少？
- 125 Bq
- 250 Bq
- 333 Bq
- 500 Bq
显示答案
125 Bq —
经过 $n$ 个半衰期后，活度为 $A = A_{0} (1/2)^{n}$ 。当 $n = 3$ 时， $(1/2)^{3} = 1/8$ ，因此 $1000/8 = 125$ Bq。

4. 衰变的图像分析★★★☆☆⏱ 3 min

对于指数衰变， $ln N$ （或 $ln A$ ）对时间 $t$ 作图得到一条直线。整理衰变定律可得： $ln N = ln N_{0} - λ t$ ，符合直线方程 $y = c + m x$ 。

📐 例题

衰变实验得到的 $ln A$ 值如下，根据数据计算衰变常数： $t = 0 s, ln A = 6.9$ ； $t = 200 s, ln A = 5.5$

1
计算直线的斜率：
2
$\text{斜率} = \frac{\Delta \ln A}{\Delta t} = \frac{5.5 - 6.9}{200 - 0} = \frac{-1.4}{200} = -0.007 \text{ s}^{-1}$
3
衰变常数是斜率的绝对值：
4
$\lambda = |-0.007| = 0.007 \text{ s}^{-1}$

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记将半衰期单位转换为与答案要求一致的单位，例如题目要求得到单位为 $s^{- 1}$ 的 $λ$ ，却仍保留半衰期单位为天

原因:

考题通常要求答案单位和输入给定值单位不同

正确做法:

开始计算前，始终检查最终答案要求的单位，并将所有物理量转换为匹配单位

错误做法:

直接将 $ln N$ 对 $t$ 作图的负斜率作为衰变常数

原因:

由于 $N$ 随时间减少，斜率为负，但衰变常数是正的概率值

正确做法:

衰变常数 $λ$ 等于 $ln N$ 对 $t$ 作图斜率的绝对值（大小）

错误做法:

将衰变定律写为正指数： $N = N_{0} e^{λ t}$

原因:

混淆了指数衰变和指数增长

正确做法:

记住未衰变原子核数量随时间减少，因此指数必须始终为负： $N = N_{0} e^{- λ t}$

错误做法:

使用衰变定律预测单个原子核的确切衰变时间

原因:

衰变定律是统计规律，仅描述大样品的平均行为

正确做法:

衰变定律只能预测大样品的平均行为，无法预测单个原子核何时衰变

错误做法:

混淆未衰变原子核数量 $N$ 和活度 $A$

原因:

两个物理量都指数衰变，但单位和含义不同

正确做法:

记住 $A = λ N$ ：活度是衰变率，单位为Bq，而 $N$ 只是未衰变原子核的计数

6. 速查表

物理量	公式	单位
未衰变原子核数量	$N (t) = N_{0} e^{- λ t}$	计数（无量纲）
活度	$A (t) = λ N (t) = A_{0} e^{- λ t}$	Bq（次衰变每秒）
半衰期/衰变常数关系	$λ = \frac{l n 2}{t _{1/2}}$	$λ$ : 时间倒数， $t_{1/2}$ : 时间
$ln N$ 对 $t$ 作图的斜率	$gradient = - λ$	时间倒数
经过 $n$ 个半衰期后的物理量	$X = X_{0} (\frac{1}{2})^{n}$	与 $X_{0}$ 单位相同

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 12
根据半衰期计算衰变常数
2023 · 22
求给定时间的活度
2021 · 11
从衰变图像求衰变常数 $λ$

下一步

放射性衰变定律是CIE A-Level核物理所有后续主题的核心基础。你会将该定律应用于实际问题，如放射性碳定年、医学放射性示踪剂计算、放射源安全分析。它还用于理解衰变系、核反应速率和半衰期的实际测量。接下来，你将基于这些知识学习放射性衰变的不同类型、如何配平核方程，以及不同类型核辐射的性质。