# 放射性衰变定律

> 物理 · CIE A-Level
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u27-radioactive-decay-law/

本模块介绍支配自发放射性衰变的指数定律，解释衰变常数、半衰期和活度之间的关系，并教授你解决CIE考试中这个核心考点的常见问题。

**先修:** [放射性导论](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u27-introduction-to-radioactivity/); 指数函数与对数

## 学习目标

- 阐述并解释自发核衰变的放射性衰变定律
- 使用标准公式关联衰变常数、活度和半衰期
- 根据给定数据和图像计算衰变相关物理量
- 解答涉及放射性衰变的常见考题

## 放射性衰变定律的基础

**放射性衰变定律** — 描述大量放射性原子核样品衰变率的统计规律，该定律指出衰变率与当前时刻剩余未衰变原子核的数量成正比。

*例:* 如果经过一个半衰期后样品剩余一半，那么衰变率也将是初始率的一半。

$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$$

**衰变常数 ($\lambda$)** — 衰变定律中的比例常数，等于任意单个未衰变原子核单位时间内发生衰变的概率。单位始终是时间的倒数（例如 $s^{-1}$）。

**例题:** 氚的衰变常数为 $1.5 \times 10^{-3} \text{ year}^{-1}$。若初始原子核数量为 $5.0 \times 10^{12}$，写出未衰变原子核数量 $N(t)$ 的表达式。

1. 从$t=0$时$N=N_0$的初始条件对衰变微分方程积分：
2. $$\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{N} = -\lambda \int_0^t dt$$
3. 计算积分并整理得：
4. $$\ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\lambda t \implies N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$
5. 代入给定的$N_0$和$\lambda$值：
6. $$N(t) = (5.0 \times 10^{12}) e^{-(1.5 \times 10^{-3})t}$$

> **考试提示:** 始终确认衰变的指数是负的：未衰变原子核的数量始终随时间减少。

## 活度与半衰期的关系

**活度 ($A$)** — 放射性样品的总衰变率，单位为贝可勒尔（Bq），其中1 Bq = 每秒1次衰变。

*记法:* A = \left|\frac{dN}{dt}\right|

*例:* 一个100 Bq的放射源平均每秒发生100次衰变。

由于 $A = |dN/dt| = \lambda N$，活度同样遵循放射性衰变定律：$A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$，其中 $A_0 = \lambda N_0$ 是初始活度。

**半衰期 ($t_{1/2}$)** — 原有未衰变原子核中一半发生衰变，或样品活度减少到初始值一半所需的时间。

**推导:** 推导半衰期和衰变常数之间的关系

*起点:* 积分形式衰变定律 $N = N_0 e^{-\lambda t}$

1. 根据定义，在 $t = t_{1/2}$ 处，$N = \frac{N_0}{2}$
2. 代入衰变定律：$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}$
3. 约去$N_0$并对两边取自然对数：$\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda t_{1/2}$
4. 化简：$-\ln 2 = -\lambda t_{1/2}$

*结论:* 关系为：$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

**例题:** 钴-60的半衰期为5.27年，计算其以$s^{-1}$为单位的衰变常数。

1. 将半衰期从年转换为秒：
2. $$5.27 \text{ 年} = 5.27 \times 365 \times 24 \times 3600 = 1.662 \times 10^8 \text{ s}$$
3. 整理半衰期公式求解$\lambda$：
4. $$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{1.662 \times 10^8} \approx 4.2 \times 10^{-9} \text{ s}^{-1}$$

> **考试提示:** 计算$\lambda$前，始终先将半衰期转换为与答案要求一致的时间单位，这是常见的给分点。

## 解答常见衰变考题

**方法对比**

解衰变问题有两种常用方法，每种适用于不同场景：

- **指数 ($e$) 形式** — 适用于任意$t$值，使用公式$N = N_0 e^{-\lambda t}$
  - 优点: 通用形式，计算衰变常数时必须使用
  - 缺点: 计算步骤更多，出现对数错误的概率更高

- **半衰期幂形式** — 使用公式 $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$，其中 $n = t/t_{1/2}$ 是经过的半衰期个数
  - 优点: 处理整数半衰期个数的问题时快很多
  - 缺点: 需要求衰变常数的问题不适用

**例题:** 某放射性样品初始活度为4800 Bq。24小时后活度为300 Bq，计算样品的半衰期。

1. 使用活度的幂形式：$A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$
2. 代入给定值：
3. $$300 = 4800 \left(\frac{1}{2}\right)^{24/t_{1/2}}$$
4. 化简左侧：$\frac{300}{4800} = \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$
5. 指数相等：$\frac{24}{t_{1/2}} = 4$
6. 求解半衰期得：$t_{1/2} = 6 \text{ 小时}$

**概念自测**

测试你的理解

1. 若初始活度为1000 Bq，经过3个半衰期后的活度是多少？

   - 125 Bq
   - 250 Bq
   - 333 Bq
   - 500 Bq

   *解析:* 经过$n$个半衰期后，活度为 $A = A_0 (1/2)^n$。当$n=3$时，$(1/2)^3 = 1/8$，因此 $1000/8 = 125$ Bq。

## 衰变的图像分析

对于指数衰变，$\ln N$（或$\ln A$）对时间$t$作图得到一条直线。整理衰变定律可得：$\ln N = \ln N_0 - \lambda t$，符合直线方程 $y = c + mx$。

> **info**
>
> $\ln N$ 对 $t$ 作图得到的直线斜率等于 $-\lambda$，因此衰变常数是斜率的绝对值（正值）。

**例题:** 衰变实验得到的$\ln A$值如下，根据数据计算衰变常数：$t = 0 \text{ s}, \ln A = 6.9$；$t = 200 \text{ s}, \ln A = 5.5$

1. 计算直线的斜率：
2. $$\text{斜率} = \frac{\Delta \ln A}{\Delta t} = \frac{5.5 - 6.9}{200 - 0} = \frac{-1.4}{200} = -0.007 \text{ s}^{-1}$$
3. 衰变常数是斜率的绝对值：
4. $$\lambda = |-0.007| = 0.007 \text{ s}^{-1}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记将半衰期单位转换为与答案要求一致的单位，例如题目要求得到单位为$s^{-1}$的$\lambda$，却仍保留半衰期单位为天
  - 原因: 考题通常要求答案单位和输入给定值单位不同
  - 正确做法: 开始计算前，始终检查最终答案要求的单位，并将所有物理量转换为匹配单位
- **错误做法:** 直接将$\ln N$对$t$作图的负斜率作为衰变常数
  - 原因: 由于$N$随时间减少，斜率为负，但衰变常数是正的概率值
  - 正确做法: 衰变常数$\lambda$等于$\ln N$对$t$作图斜率的绝对值（大小）
- **错误做法:** 将衰变定律写为正指数：$N = N_0 e^{\lambda t}$
  - 原因: 混淆了指数衰变和指数增长
  - 正确做法: 记住未衰变原子核数量随时间减少，因此指数必须始终为负：$N = N_0 e^{-\lambda t}$
- **错误做法:** 使用衰变定律预测单个原子核的确切衰变时间
  - 原因: 衰变定律是统计规律，仅描述大样品的平均行为
  - 正确做法: 衰变定律只能预测大样品的平均行为，无法预测单个原子核何时衰变
- **错误做法:** 混淆未衰变原子核数量$N$和活度$A$
  - 原因: 两个物理量都指数衰变，但单位和含义不同
  - 正确做法: 记住 $A = \lambda N$：活度是衰变率，单位为Bq，而$N$只是未衰变原子核的计数

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 单位 |
| --- | --- | --- |
| 未衰变原子核数量 | $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ | 计数（无量纲） |
| 活度 | $A(t) = \lambda N(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ | Bq（次衰变每秒） |
| 半衰期/衰变常数关系 | $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$ | $\lambda$: 时间倒数，$t_{1/2}$: 时间 |
| $\ln N$对$t$作图的斜率 | $\text{gradient} = -\lambda$ | 时间倒数 |
| 经过$n$个半衰期后的物理量 | $X = X_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ | 与$X_0$单位相同 |

## 下一步

放射性衰变定律是CIE A-Level核物理所有后续主题的核心基础。你会将该定律应用于实际问题，如放射性碳定年、医学放射性示踪剂计算、放射源安全分析。它还用于理解衰变系、核反应速率和半衰期的实际测量。接下来，你将基于这些知识学习放射性衰变的不同类型、如何配平核方程，以及不同类型核辐射的性质。

- [半衰期](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u27-half-life/)
- [核裂变与核聚变](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u27-nuclear-fission-and-fusion/)
- [辐射安全](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u27-radiation-safety/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u27-radioactive-decay-law/