半衰期

CIE A-Level 物理· Unit 27: Nuclear physics, Topic 3· 10 分钟阅读

1. 半衰期的定义和关键性质★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

半衰期

t_{1/2}

放射性同位素的半衰期是满足以下任意一种情况所需的时间：(1) 样品中未衰变原子核的数量减少到原始值的一半，或(2) 样品活度减少到原始活度的一半。对于任意给定同位素，半衰期是恒定的，与样品大小无关。

例:

碳-14的半衰期约为5730年，而氡-220的半衰期为55.6秒。

半衰期描述了大量原子核的统计行为，因为我们无法预测单个原子核的衰变。给定同位素的半衰期为恒定值，是放射性衰变随机性的直接结果。

📐 例题

某样品初始含有半衰期为2.0分钟的同位素，共 $8.0 \times 1 0^{18}$ 个未衰变原子核。6.0分钟后还剩多少未衰变原子核？

1
首先，计算已经过的半衰期数量：
2
$n = \frac{\text{total time}}{t_{1/2}} = \frac{6.0}{2.0} = 3$
3
每经过一个半衰期，未衰变原子核数量减半，因此剩余数量为：
4
$N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$
5
将数值代入公式：
6
$N = 8.0 \times 10^{18} \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 8.0 \times 10^{18} \times \frac{1}{8} = 1.0 \times 10^{18}$
7
$1.0 \times 1 0^{18}$ 未衰变原子核 remain after 6.0 minutes.

Exam tip:

CIE考官认可原子核数量或活度两种定义都可得满分。一定要提对于给定同位素半衰期是恒定的，才能拿到所有分数。

2. 从数据和图像计算半衰期★★★☆☆⏱ 4 min

实验中最常用的方法是绘制活度（或未衰变原子核数量）对时间的图像来求半衰期。对于指数衰变，任意活度值到其一半值的时间间隔是恒定的。

📐 例题

下表给出了放射性样品随时间变化的活度：

时间 (s)	0	20	40	60	80
活度 (Bq)	120	61	30	15	7
该同位素的半衰期是多少？

1
从初始活度120 Bq开始，一半是60 Bq。从表中可知，活度在约20 s时达到60 Bq。
2
接下来验证下一个半值：60 Bq的一半是30 Bq，出现在约40 s。这两个点之间的时间间隔为 $40 - 20 = 20$ s。
3
再次验证：30 Bq降到15 Bq在60 s，间隔为 $60 - 40 = 20$ s。
4
所有间隔都约为20 s，因此半衰期为20 s。

✓ 快速检测

测试你目前的理解：

某样品初始活度为240 Bq，半衰期10分钟。30分钟后活度是多少？
- 30 Bq
- 80 Bq
- 120 Bq
- 60 Bq
显示答案
30 Bq —
经过了3个完整半衰期：240 → 120 → 60 → 30 Bq。回答正确。

3. 半衰期与衰变常数的关系★★★☆☆⏱ 3 min

🔬 推导

目标:

推导半衰期 $t_{1/2}$ 和衰变常数 $λ$ 之间的关系

起点:

从放射性衰变定律 $N = N_{0} e^{- λ t}$ 出发

1
当 $t = t_{1/2}$ 时，未衰变原子核数量为 $N = \frac{N _{0}}{2}$ 。代入衰变定律：
2
$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}$
3
两边消去 $N_{0}$ ，然后对两边取自然对数：
4
$\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda t_{1/2}$
5
使用对数法则 $ln (1/2) = - ln 2$ 化简：
6
$-\ln 2 = -\lambda t_{1/2}$

结果:

消去负号并整理，得到标准关系：

t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \quad \text{or} \quad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}

📐 例题

某同位素的衰变常数为 $1.2 \times 1 0^{- 4}$ s⁻¹。计算它的半衰期。

1
记住 $ln 2 \approx 0.693$ ，代入公式：
2
$t_{1/2} = \frac{0.693}{1.2 \times 10^{-4} \text{ s}^{-1}} = 5775 \text{ s} \approx 5.8 \times 10^3 \text{ s}$
3
半衰期约为 $5.8 \times 1 0^{3}$ 秒（约合96分钟）。

4. 常见陷阱

错误做法:

认为半衰期随样品大小变化

原因:

半衰期是同位素的固有属性，不是样品的属性。对于给定同位素，它始终恒定。

正确做法:

无论样品初始量是多少，都使用相同的半衰期值。

错误做法:

从非零起点开始计算时，仍然从时间零点开始数半衰期

原因:

半衰期数量取决于从你的起始活度开始经过的时间，不是实验开始以来的绝对时间。

正确做法:

半衰期数量计算公式为 $n = \frac{end time - start time}{t _{1/2}}$ 。

错误做法:

从衰变常数计算半衰期时忘记转换单位

原因:

即使计算正确，CIE考官也会扣分，如果单位错误或缺失。

正确做法:

始终检查题目要求的单位，转换最终答案的单位。

错误做法:

在 $t_{1/2}$ 公式中使用常用对数而不是自然对数

原因:

衰变定律使用以 $e$ 为底的指数，因此推导需要自然对数。

正确做法:

半衰期与衰变常数的关系中始终使用自然对数。

5. 速查表

概念	公式 / 规律
半衰期定义	活度/原子核数量减少一半所需的时间
半衰期数量	$n = t / t_{1/2}$
剩余活度/原子核数量	$A = A_{0} (1/2)^{n}, N = N_{0} (1/2)^{n}$
与衰变常数的关系	$t_{1/2} = ln 2/ λ \approx 0.693/ λ$
作图法	多对半值之间时间间隔的平均值
关键性质	对于任意给定同位素，半衰期是恒定的

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · Paper 1
根据数据计算半衰期
2023 · Paper 2
用作图法确定半衰期
2021 · Paper 4
半衰期与衰变常数的关系

深入阅读

syllabusCIE 9702 2025-2027 大纲查看第47页了解半衰期的学习目标

下一步

半衰期是CIE A-Level所有核物理主题的核心基础概念。你将用半衰期解决放射性定年问题，这是指数衰变的常见应用。半衰期也是多级连续衰变的衰变链研究的基础，还用于计算核医学和安全应用中的活度水平。掌握半衰期是学习Paper 4考察的更高级主题（包括核结合能和裂变/聚变反应）的前提。