# 半衰期

> CIE A-Level 物理 · 核物理
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u27-half-life/

本模块讲解半衰期的定义，如何从实验数据和图像计算半衰期，以及半衰期与衰变常数的关系。你将学习解决CIE考试中常见的放射性衰变问题。

**先修:** [放射性衰变定律和衰变常数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u27-radioactive-decay-laws/); 指数函数和自然对数

## 学习目标

- 定义放射性核素的半衰期
- 从衰变数据和图像计算半衰期
- 使用标准公式关联半衰期和衰变常数
- 解决涉及多个半衰期的定量问题

## 半衰期的定义和关键性质

**半衰期** — 放射性同位素的半衰期是满足以下任意一种情况所需的时间：(1) 样品中未衰变原子核的数量减少到原始值的一半，或(2) 样品活度减少到原始活度的一半。对于任意给定同位素，半衰期是恒定的，与样品大小无关。

*记法:* t_{1/2}

*例:* 碳-14的半衰期约为5730年，而氡-220的半衰期为55.6秒。

半衰期描述了大量原子核的统计行为，因为我们无法预测单个原子核的衰变。给定同位素的半衰期为恒定值，是放射性衰变随机性的直接结果。

**例题:** 某样品初始含有半衰期为2.0分钟的同位素，共$8.0 \times 10^{18}$个未衰变原子核。6.0分钟后还剩多少未衰变原子核？

1. 首先，计算已经过的半衰期数量：
2. $$n = \frac{\text{total time}}{t_{1/2}} = \frac{6.0}{2.0} = 3$$
3. 每经过一个半衰期，未衰变原子核数量减半，因此剩余数量为：
4. $$N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$$
5. 将数值代入公式：
6. $$N = 8.0 \times 10^{18} \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 8.0 \times 10^{18} \times \frac{1}{8} = 1.0 \times 10^{18}$$
7. $1.0 \times 10^{18}$ 未衰变原子核 remain after 6.0 minutes.

> **考试提示:** CIE考官认可原子核数量或活度两种定义都可得满分。一定要提对于给定同位素半衰期是恒定的，才能拿到所有分数。

## 从数据和图像计算半衰期

实验中最常用的方法是绘制活度（或未衰变原子核数量）对时间的图像来求半衰期。对于指数衰变，任意活度值到其一半值的时间间隔是恒定的。

> **tip**
>
> 为了减少从图像读取半衰期的误差，测量多对半值之间的间隔，然后取结果的平均值。

**例题:** 下表给出了放射性样品随时间变化的活度：
| 时间 (s) | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 |
|----------|---|----|----|----|----|
| 活度 (Bq) | 120 | 61 | 30 | 15 | 7 |
该同位素的半衰期是多少？

1. 从初始活度120 Bq开始，一半是60 Bq。从表中可知，活度在约20 s时达到60 Bq。
2. 接下来验证下一个半值：60 Bq的一半是30 Bq，出现在约40 s。这两个点之间的时间间隔为 $40 - 20 = 20$ s。
3. 再次验证：30 Bq降到15 Bq在60 s，间隔为 $60 - 40 = 20$ s。
4. 所有间隔都约为20 s，因此半衰期为20 s。

**概念自测**

测试你目前的理解：

1. 某样品初始活度为240 Bq，半衰期10分钟。30分钟后活度是多少？

   - 30 Bq
   - 80 Bq
   - 120 Bq
   - 60 Bq

   *解析:* 经过了3个完整半衰期：240 → 120 → 60 → 30 Bq。回答正确。

## 半衰期与衰变常数的关系

**推导:** 推导半衰期$t_{1/2}$和衰变常数$\lambda$之间的关系

*起点:* 从放射性衰变定律 $N = N_0 e^{-\lambda t}$ 出发

1. 当 $t = t_{1/2}$ 时，未衰变原子核数量为 $N = \frac{N_0}{2}$。代入衰变定律：
2. $$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}$$
3. 两边消去$N_0$，然后对两边取自然对数：
4. $$\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda t_{1/2}$$
5. 使用对数法则 $\ln(1/2) = -\ln 2$ 化简：
6. $$-\ln 2 = -\lambda t_{1/2}$$

*结论:* 消去负号并整理，得到标准关系：

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \quad \text{or} \quad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$$

**例题:** 某同位素的衰变常数为 $1.2 \times 10^{-4}$ s⁻¹。计算它的半衰期。

1. 记住$\ln 2 \approx 0.693$，代入公式：
2. $$t_{1/2} = \frac{0.693}{1.2 \times 10^{-4} \text{ s}^{-1}} = 5775 \text{ s} \approx 5.8 \times 10^3 \text{ s}$$
3. 半衰期约为 $5.8 \times 10^3$ 秒（约合96分钟）。

**考试命令词**

本主题常见的CIE指令术语：

- **Show that** — 验证半衰期值或其与衰变常数的关系。你必须写出所有推导步骤。 *(当要求推导$t_{1/2}$的关系时，总是从衰变定律开始。)*

- **Determine** — 从数据或图像计算半衰期。你必须展示你的方法，不能只给出最终答案。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为半衰期随样品大小变化
  - 原因: 半衰期是同位素的固有属性，不是样品的属性。对于给定同位素，它始终恒定。
  - 正确做法: 无论样品初始量是多少，都使用相同的半衰期值。
- **错误做法:** 从非零起点开始计算时，仍然从时间零点开始数半衰期
  - 原因: 半衰期数量取决于从你的起始活度开始经过的时间，不是实验开始以来的绝对时间。
  - 正确做法: 半衰期数量计算公式为 $n = \frac{\text{end time} - \text{start time}}{t_{1/2}}$。
- **错误做法:** 从衰变常数计算半衰期时忘记转换单位
  - 原因: 即使计算正确，CIE考官也会扣分，如果单位错误或缺失。
  - 正确做法: 始终检查题目要求的单位，转换最终答案的单位。
- **错误做法:** 在$t_{1/2}$公式中使用常用对数而不是自然对数
  - 原因: 衰变定律使用以$e$为底的指数，因此推导需要自然对数。
  - 正确做法: 半衰期与衰变常数的关系中始终使用自然对数。

## 速查表

| 概念 | 公式 / 规律 |
| --- | --- |
| 半衰期定义 | 活度/原子核数量减少一半所需的时间 |
| 半衰期数量 | $n = t / t_{1/2}$ |
| 剩余活度/原子核数量 | $A = A_0 (1/2)^n, N = N_0 (1/2)^n$ |
| 与衰变常数的关系 | $t_{1/2} = \ln 2 / \lambda \approx 0.693 / \lambda$ |
| 作图法 | 多对半值之间时间间隔的平均值 |
| 关键性质 | 对于任意给定同位素，半衰期是恒定的 |

## 下一步

半衰期是CIE A-Level所有核物理主题的核心基础概念。你将用半衰期解决放射性定年问题，这是指数衰变的常见应用。半衰期也是多级连续衰变的衰变链研究的基础，还用于计算核医学和安全应用中的活度水平。掌握半衰期是学习Paper 4考察的更高级主题（包括核结合能和裂变/聚变反应）的前提。

- [核裂变与核聚变](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u27-nuclear-fission-and-fusion/)
- [辐射安全](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u27-radiation-safety/)
- [医学成像](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u28-overview/)

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