# 光电效应

> 物理 · CIE A-Level 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u26-photoelectric-effect/

本子主题涵盖光电效应实验、推翻经典光波动模型的意外观测结果、爱因斯坦的光子解释，以及CIE A-Level物理的核心计算技巧。

**先修:** 电磁辐射的经典波动模型; 光子能量方程; 包括电子伏特在内的能量单位

## 学习目标

- 解释光电效应及其作为光的光子模型证据的作用
- 牢记并正确应用爱因斯坦光电方程解决计算问题
- 描述关键实验观测结果，并解释经典波动理论为何无法解释这些结果
- 解读遏止电势对频率的关系图，计算普朗克常数和逸出功

## 观测结果与波动理论的缺陷

**光电效应** — 当金属表面吸收了足够高频率的电磁辐射时，从金属表面发射电子的现象。

*例:* 紫外线照射锌板时产生的光电发射

20世纪初的实验得到了四个无法用经典光波动模型解释的关键观测结果，经典模型假设能量均匀分布在波前上：

1. 只有当入射频率高于金属特有的**阈频率**$f_0$时，才会发射光电子
2. 即使强度非常低，发射也是瞬时发生的
3. 光电子的最大动能仅取决于频率，与强度无关
4. 提高强度只会增加每秒发射的光电子数量，不会提高它们的最大动能

> **warning**
>
> 波动理论预测任何频率都可以发生发射（只要给足时间让能量积累），且更高强度会产生更高动能。这两个预测都不符合实验结果。

**例题:** 一名学生观察到低强度蓝光照射钠表面时会瞬时发射光电子。随后他们将高强度低频红光照射同一表面，却未检测到发射。解释为什么没有光电子释放。

1. 首先，记住只有当入射频率高于金属的阈频率时，才会发生光电发射。
2. 红光的频率低于钠的阈频率。经典波动模型错误地预测高强度最终会积累足够能量让发射发生。
3. 在光子模型中，一个光子与一个电子相互作用。每个红光光子的能量都低于钠的逸出功，因此无论有多少个光子（强度有多高）撞击表面，都没有电子能获得足够能量逃逸。

## 爱因斯坦光电方程

**逸出功** — 从金属表面释放一个电子所需的最小能量，大小取决于金属种类。

*记法:* $\Phi$

**阈频率** — 能产生光电发射的入射辐射最小频率，与逸出功的关系为$\Phi = hf_0$。

*记法:* $f_0$

爱因斯坦通过假设光表现为离散的粒子（即光子）解释了观测结果，每个光子的能量为$E = hf$。一个光子与金属表面的一个电子相互作用。电子至少需要消耗逸出功的能量才能离开金属，剩余能量成为电子的动能。由此得到核心光电方程：

$$hf = \Phi + KE_{max}$$

最大动能也可以用遏止电势$V_s$表示，遏止电势是阻止能量最大的光电子所需的反向电势：$KE_{max} = eV_s$。

**例题:** 铯的逸出功为2.14 eV。计算(a)阈频率，(b)频率为$6.5 \times 10^{14}$ Hz的入射辐射对应的遏止电势。取$h = 6.63 \times 10^{-34} Js$，$e = 1.60 \times 10^{-19} C$。

1. 将逸出功从eV转换为焦耳：
2. $$\Phi = 2.14 \times 1.60 \times 10^{-19} = 3.424 \times 10^{-19} J$$
3. (a) 由$f_0 = \frac{\Phi}{h}$计算阈频率：
4. $$f_0 = \frac{3.424 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} = 5.16 \times 10^{14} Hz$$
5. (b) 代入整理后的爱因斯坦方程求解遏止电势，其中$eV_s = hf - \Phi$：
6. $$hf = 6.63 \times 10^{-34} \times 6.5 \times 10^{14} = 4.31 \times 10^{-19} J$$
7. $$V_s = \frac{4.31 \times 10^{-19} - 3.424 \times 10^{-19}}{1.60 \times 10^{-19}} = 0.55 V$$

## 图像解读

整理爱因斯坦方程后，可以得到最大动能（或遏止电势）与入射频率之间的线性关系。这种线性关系证实了光子模型，还可以通过实验测量普朗克常数和逸出功。

| 图像特征 | 物理意义 |
| --- | --- |
| $KE_{max}$对$f$图线的斜率 | $h$（普朗克常数） |
| $V_s$对$f$图线的斜率 | $h/e$ |
| $KE_{max}$对$f$图线的y截距 | $-\Phi$ |
| x截距（$KE_{max}=0$处） | 阈频率 $f_0$ |

> **tip**
>
> CIE考试经常要求你从$V_s$对$f$图中计算普朗克常数。记住一定要将斜率乘以$e$（元电荷）才能得到$h$。

**例题:** 未知金属的$V_s$ (V)对$f$ (Hz)图线的斜率为$4.1 \times 10^{-15} V/Hz$，x截距在$5.0 \times 10^{14} Hz$。计算该金属的$h$和逸出功。

1. 由$V_s = \frac{h}{e}f - \frac{\Phi}{e}$可知，斜率等于$\frac{h}{e}$：
2. $$h = \text{gradient} \times e = 4.1 \times 10^{-15} \times 1.60 \times 10^{-19} = 6.56 \times 10^{-34} Js$$
3. x截距就是阈频率$f_0$，因此$\Phi = hf_0$：
4. $$\Phi = 6.56 \times 10^{-34} \times 5.0 \times 10^{14} = 3.28 \times 10^{-19} J = 2.05 eV$$

## 常见错误

- **错误做法:** 计算阈频率前忘记将逸出功从eV转换为焦耳。
  - 原因: 普朗克常数通常以$Js$为单位给出，混合能量单位会导致结果差多个数量级。
  - 正确做法: 代入前始终将所有能量值转换为焦耳，或者使用以$eVs$为单位的$h$来保证单位一致。
- **错误做法:** 认为入射光强度越高，光电子的最大动能越大。
  - 原因: 强度衡量的是每秒的光子数，不是单个光子的能量。最大动能仅取决于频率。
  - 正确做法: 强度越高只会提高光电子的发射率，不会提高光电子的最大动能。
- **错误做法:** 认为如果强度足够高，即使低于阈频率，等待足够长时间也会发生发射。
  - 原因: 这是经典波动理论的错误预测。光子模型要求每个单个光子都要有足够的能量。
  - 正确做法: 无论强度或曝光时间如何，低于阈频率都不可能发生发射。
- **错误做法:** 将$V_s$对$f$图线的斜率直接当作$h$。
  - 原因: 混淆了$KE_{max}$对$f$的关系和$V_s$对$f$的关系。
  - 正确做法: $KE_{max}$对$f$图线的斜率等于$h$，$V_s$对$f$图线的斜率等于$h/e$。
- **错误做法:** 假设所有光电子的动能都等于$KE_{max}$。
  - 原因: $KE_{max}$仅描述从金属表面发射的电子。金属内部更深位置的电子逃逸时会损失额外能量。
  - 正确做法: 爱因斯坦方程中仅使用$KE_{max}$，因为它指的是能量最大的发射电子。

## 速查表

| 概念 | 核心公式/关系 |
| --- | --- |
| 光子能量 | $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ |
| 逸出功-阈频率关系 | $\Phi = hf_0$ |
| 爱因斯坦光电方程 | $hf = \Phi + KE_{max}$ |
| 遏止电势关系 | $KE_{max} = eV_s$ |
| $KE_{max}$对$f$的斜率 | $= h$ |
| $V_s$对$f$的斜率 | $= h/e$ |
| 核心原理 | 一个光子与一个电子相互作用 |

## 下一步

光电效应为光的粒子性提供了第一个确凿的实验证据，奠定了现代量子物理学的基础。掌握其原理和计算对于CIE 9702大纲中所有后续量子主题至关重要。这里介绍的光子模型在波粒二象性中扩展到实物粒子，并应用于原子能级来解释线光谱，这两者都是核心考试主题。

- [波粒二象性](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u26-wave-particle-duality/)
- [电子能级](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u26-electron-energy-levels/)
- [线状光谱](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u26-line-spectra/)

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