# 德布罗意波长

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u26-de-broglie-wavelength/

本模块讲解德布罗意的假设：所有物质都具有波状性质，如何计算运动粒子的德布罗意波长，以及电子衍射如何为物质波提供实验证明。

**先修:** [动量与动能](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u03-momentum-kinetic-energy/); [波的衍射](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u08-wave-properties-diffraction/)

## 学习目标

- 陈述物质波的德布罗意假设
- 计算运动粒子的德布罗意波长
- 推导加速带电粒子的波长公式
- 解释电子衍射如何验证德布罗意假设

## 德布罗意假设与德布罗意方程

1924年，路易·德布罗意提出，波粒二象性并非电磁辐射独有：所有运动粒子都同时表现出粒子性和波动性。这种类波性质被称为*物质波*。

**德布罗意波长** — 与运动粒子的物质波关联的波长，和粒子的动量直接相关。

*记法:* $\lambda$

*例:* 经100 V加速的电子德布罗意波长约为0.1 nm，与晶体中的原子间距匹配。

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$

**例题:** 计算速率为$2.0 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$的电子的德布罗意波长，取$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$，$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$。

1. 1. 首先计算电子的动量:
2. $$p = m_e v = (9.11 \times 10^{-31})(2.0 \times 10^6) = 1.822 \times 10^{-24} \text{ kg m s}^{-1}$$
3. 2. 代入德布罗意方程:
4. $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.822 \times 10^{-24}} = 3.6 \times 10^{-10} \text{ m}$$

> **tip**
>
> 始终检查单位：动量必须为$\text{kg m s}^{-1}$，$h$必须为J s，才能得到以米为单位的波长。

> **考试提示:** 考试中可能会要求你陈述德布罗意假设，分值2-3分：一定要提到*所有运动物质*都具有和动量相关的波长。

## 加速带电粒子的德布罗意波长

考试中最常见的问题是计算经过已知电势差加速的电子的德布罗意波长。我们可以利用能量守恒推导这种情况的简化公式。

**推导:** 推导经过电势差$V$加速的电子的德布罗意波长公式

*起点:* 电场做功 = 电子获得的动能

1. 1. 令电场做功等于动能:
2. $$eV = \frac{p^2}{2m_e}$$
3. 2. 整理求解动量:
4. $$p = \sqrt{2 m_e e V}$$
5. 3. 代入通用德布罗意方程:
6. $$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_e e V}}$$

*结论:* 这个公式让你可以直接通过加速电势计算波长，无需先计算速率。

**例题:** 计算经过150 V加速的电子的德布罗意波长，取$e = 1.60 \times 10^{-19} \text{ C}$，$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$，$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$。

1. 1. 将数值代入推导得到的公式:
2. $$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.60 \times 10^{-19} \times 150}}$$
3. 2. 先计算分母:
4. $$\text{denominator} = \sqrt{4.37 \times 10^{-47}} = 6.61 \times 10^{-24}$$
5. 3. 求解波长:
6. $$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.61 \times 10^{-24}} \approx 1.0 \times 10^{-10} \text{ m} = 0.1 \text{ nm}$$

## 实验验证：电子衍射

德布罗意假设在1927年被戴维森和革末证实，他们观察到电子被镍晶体靶散射后产生了清晰的衍射图样。衍射是只有波才具有的性质，因此这证明了电子表现出波动性。

当入射粒子的德布罗意波长近似等于衍射缝隙的尺寸时，会发生最大衍射。对于晶体，缝隙就是原子间距（约0.1 nm），这和经过约100 V加速的电子波长匹配，和我们上一个例子的结果一致。

**电子衍射** — 电子被晶体材料衍射的现象，为德布罗意的物质波假设提供了直接的实验证明。

**例题:** 中子束被用于研究晶体的原子间距，晶体的原子间距为$2.8 \times 10^{-10} \text{ m}$。估算发生最大衍射所需的中子速率。中子质量$m_n = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$。

1. 1. 最大衍射发生时 $\lambda = \text{原子间距} = 2.8 \times 10^{-10} \text{ m}$
2. 2. 整理德布罗意方程得到速率:
3. $$v = \frac{h}{m_n \lambda}$$
4. 3. 代入数值计算:
5. $$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(1.67 \times 10^{-27})(2.8 \times 10^{-10})} \approx 1.4 \times 10^3 \text{ m s}^{-1}$$

> **考试提示:** 当被要求解释为什么电子衍射支持德布罗意假设时，要明确说明衍射是波的性质，证明了粒子具有波动性。

## 常见错误

- **错误做法:** 使用$\lambda = c/f$计算粒子的波长
  - 原因: $c = f\lambda$仅适用于电磁辐射，不适用于物质波
  - 正确做法: 任何运动粒子的波长都始终使用$\lambda = h/p$计算
- **错误做法:** 代入公式时保留加速电势的kV单位
  - 原因: 所有SI单位计算都要求电势差单位为伏特，使用kV会得到比正确值小1000倍的波长
  - 正确做法: 代入前始终将kV转换为V（乘以1000）
- **错误做法:** 声称宏观物体没有德布罗意波长
  - 原因: 所有运动物质都有徳布罗意波长，和尺寸无关
  - 正确做法: 解释：大质量带来大动量，导致波长过小，无法产生可观测的衍射效应
- **错误做法:** 对极高能（MeV）电子使用非相对论$E_k = p^2/(2m)$
  - 原因: 当速率接近$c$时，相对论效应会让非相对论动能近似失效
  - 正确做法: CIE 9702几乎总是要求非相对论计算；除非题目明确说明，否则使用上述公式

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 通用德布罗意波长 | $\lambda = \frac{h}{mv}$ | 所有运动粒子 |
| 加速电子 | $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_e e V}}$ | $V$单位为伏特，$\lambda$单位为米 |
| 最大衍射条件 | $\lambda \approx \text{缝隙间距}$ | 产生可观测衍射的要求 |
| 实验证明 | 晶体电子衍射 | 证实物质波假设 |

## 下一步

德布罗意的物质波假设是现代量子物理的基础。它证实了波粒二象性，为量子力学的发展铺平了道路，还催生了透射电子显微镜等革命性技术：这类显微镜利用高能电子的短德布罗意波长，分辨光学显微镜无法看到的原子级结构。理解这个概念对于进一步探索不确定性原理和核物理等量子现象至关重要。

- [波粒二象性](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u26-wave-particle-duality/)
- [核物理学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u27-overview/)

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