交流电特性

CIE A-Level 物理学· 15 分钟阅读

1. 什么是交流电？★★☆☆☆⏱ 15 min

与电荷沿恒定方向流动的直流电（DC）不同，交流电（AC）的电荷流动会周期性反向。大多数实际的交流电波形（包括市电）都是正弦波，这简化了数学分析。

📘 定义

交流电（AC）

电荷流动的大小和方向周期性变化，且会定期反向的电流。

例:

供应给家庭的市电是频率为50Hz（英国/欧洲）或60Hz（北美）的交流电。

📐 例题

绘制并标注峰值为10 V、跨越两个完整周期的正弦交流电压波形的关键特征。

1
绘制一组坐标轴，y轴为电压 ( $V$ )，x轴为时间 ( $t$ )。
2
在y轴正半轴标注+10 V为最大电压，y轴负半轴标注-10 V为最小电压。
3
绘制一条平滑正弦曲线，起点为 $(0, 0)$ ，在 $\frac{1}{4} T$ 处达到+10 V，在 $\frac{1}{2} T$ 处回到0，在 $\frac{3}{4} T$ 处达到-10 V，在完整周期 $T$ 处回到0，然后重复该周期得到第二个周期。
4
标注峰值 $V_{0} = 10$ V，峰峰值 $V_{pp} = 20$ V，并在x轴上标出一个完整周期 $T$ 。

2. 正弦交流电的关键参数★★★☆☆⏱ 20 min

所有周期性交流电波形都有明确的核心参数来描述其特性。对于正弦交流电，电压随时间变化的一般方程为：

V(t) = V_0 \sin(2\pi f t) = V_0 \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)

- 周期 ( $T$ ): 波形完成一个完整循环所需的时间，单位为秒 (s)。
- 频率 ( $f$ ): 每秒完成的完整循环数，单位为赫兹 (Hz)，满足 $f = \frac{1}{T}$ 。
- 峰值 ( $V_{0}, I_{0}$ ): 电压或电流偏离零值的最大幅度，单位分别为伏特 (V) 或安培 (A)。
- 峰峰值: 正峰值和负峰值之间的总电压变化，等于 $2 V_{0}$ 或 $2 I_{0}$ 。

📐 例题

一个正弦交流电的频率为50 Hz，峰值电流为3.5 A。写出电流随时间变化的方程，并计算周期。

1
首先，回忆频率 $f$ 和周期 $T$ 的关系：
2
$T = \frac{1}{f}$
3
代入 $f = 50$ Hz：
4
$T = \frac{1}{50} = 0.02 \text{ s}$
5
正弦电流的一般方程为 $I (t) = I_{0} sin (2 π f t)$ 。代入 $I_{0} = 3.5$ A 和 $f = 50$ Hz：
6
$I(t) = 3.5 \sin(100\pi t)$

3. 均方根（rms）值★★★☆☆⏱ 25 min

完整正弦交流电周期的平均值为零，因此不能用它来计算交流电输送的功率。我们转而使用均方根（rms）值，它代表能给电阻负载输送相同平均功率的等效直流值。

📘 定义

均方根（rms）值

V_{rms}, I_{rms}

在给定电阻中耗散的平均功率与给定交流电相同的等效恒定直流值。对于正弦交流电，它等于峰值除以 $2$ 。

🔬 推导

目标:

推导电阻 $R$ 上正弦交流电峰值电压和有效值电压的关系

起点:

Average power $P_{a v g} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{V ( t ) ^{2}}{R} d t$

1
将 $V (t) = V_{0} sin (ω t)$ 代入功率方程：
2
$P_{avg} = \frac{V_0^2}{RT} \int_0^T \sin^2(\omega t) dt$
3
利用三角恒等式 $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ 。 $cos 2 ω t$ 在一个完整周期上的积分为零，因此：
4
$\int_0^T \sin^2(\omega t) dt = \frac{T}{2}$
5
代回可得 $P_{a v g} = \frac{V _{0}^{2}}{2 R}$ 。令其等于直流电压 $V_{r m s}$ 的功率：
6
$\frac{V_{rms}^2}{R} = \frac{V_0^2}{2R}$
7
消去项并开平方：
8
$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$

结果:

对于任何正弦交流电，电流也满足相同关系： $I_{r m s} = \frac{I _{0}}{2}$

📐 例题

英国市电的额定电压230 V为有效值。计算该电源的峰值电压，以及接在电源上的100 Ω电阻耗散的平均功率。

1
已知 $V_{r m s} = 230$ V。整理公式 $V_{r m s} = \frac{V _{0}}{2}$ 求 $V_{0}$ ：
2
$V_0 = V_{rms} \times \sqrt{2} = 230 \times 1.414 = 325 \text{ V (3 s.f.)}$
3
平均功率可直接用有效值计算：
4
$P_{avg} = \frac{V_{rms}^2}{R} = \frac{(230)^2}{100} = 529 \text{ W}$

Exam tip:

一定要检查题目给出的是峰值还是有效值！市电电压总是以有效值标注的。

4. 常见陷阱

错误做法:

假设一个完整周期的交流电平均值等于有效值

原因:

完整正弦交流电周期的平均值为零，因为正负半周大小相等方向相反，因此不能用于功率计算

正确做法:

始终使用有效值计算交流电的平均功率

错误做法:

计算交流电平均功率时使用峰值而非有效值

原因:

这会使正弦交流电的功率结果是正确值的两倍，导致考试失分

正确做法:

计算功率前先将峰值转换为有效值： $P = I_{r m s}^{2} R = \frac{V _{r m s}^{2}}{R}$

错误做法:

对非正弦交流电波形使用 $V_{r m s} = V_{0} / 2$

原因:

该关系仅适用于纯正弦交流电，不适用于方波、三角波或其他非正弦波形

正确做法:

对于非正弦交流电，需从基本原理计算有效值：对所有值平方，取平均，再开平方

错误做法:

混淆频率和周期，使用 $T = f$ 而非 $T = 1/ f$

原因:

这会导致交流电波形的方程错误，使后续所有计算出错

正确做法:

记住 $f = 1/ T$ ：频率单位是Hz（每秒周期数），周期单位是秒（每个周期的秒数）

5. 速查表

参数	符号	正弦交流电的关系
周期	$T$	$T = 1/ f$
频率	$f$	$f = 1/ T$
峰值电压	$V_{0}$	$V_{0} = V_{r m s} 2$
峰值电流	$I_{0}$	$I_{0} = I_{r m s} 2$
有效值电压	$V_{r m s}$	$V_{r m s} = V_{0} / 2$
有效值电流	$I_{r m s}$	$I_{r m s} = I_{0} / 2$
平均功率	$P_{a v g}$	$P_{a v g} = V_{r m s} I_{r m s} = I_{r m s}^{2} R = V_{r m s}^{2} / R$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 12
计算交流电压的有效值
2023 · 21
比较交流电和直流电的功率耗散
2021 · 13
绘制并标注交流电压图像

下一步

现在你已经掌握了交流电的核心特性，接下来可以学习CIE A-Level交流电的更高级主题。理解峰值和有效值是所有后续交流电研究的基础，包括计算电容和电感电路的电抗和功率，这些计算都依赖于我们学习的这些关系。有效值的概念也可迁移到大纲中的其他主题，包括热物理和粒子物理，因此你在这里学到的技能有广泛应用。接下来，你可以将这些基础知识应用到分析含不同元件的交流电路的实践和理论研究中。

→均方根（rms）值