# 法拉第定律和楞次定律

> CIE A-Level 物理 · 9702 A-Level 物理 2022-2024
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u24-faraday-s-law-and-lenz/

本子主题讲解电磁感应的两条核心定律：用于计算感应电动势大小的法拉第定律，和用于判断感应电流方向的楞次定律。我们会将两条定律应用于常见的CIE考试题型。

**先修:** [磁通量和磁链](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u24-magnetic-flux-flux-linkage/)

## 学习目标

- 以符合考试要求的形式表述法拉第定律和楞次定律
- 根据磁链的变化计算感应电动势的大小
- 使用楞次定律判断感应电流的方向
- 解释楞次定律和能量守恒之间的联系

## 法拉第感应定律

**法拉第定律** — 感应电动势（emf）的大小等于电路中磁链的变化率。

*记法:* \varepsilon = -N \frac{d\Phi}{dt}

*例:* 下落的磁铁靠近线圈时，会产生大小不断增大的感应电动势。

对于大多数涉及磁通量均匀变化的CIE考题，公式可简化为计算感应电动势的大小：

$$\varepsilon = N \frac{|\Delta \Phi|}{\Delta t}$$

**例题:** 一个匝数为50匝的线圈，横截面积为$2.0 \times 10^{-4} \text{ m}^2$，垂直放置在匀强磁场中；磁感应强度在0.20 s内从0.10 T增加到0.35 T。计算感应电动势的大小。

1. 首先，计算每匝磁通量的变化量：$\Delta \Phi = \Delta B \cdot A \cdot \cos\theta$。$\theta = 0^\circ$，因此$\cos\theta = 1$：
2. $$\Delta \Phi = (0.35 - 0.10) \times 2.0 \times 10^{-4} = 5.0 \times 10^{-5} \text{ Wb}$$
3. 代入法拉第定律公式，乘以匝数$N$：
4. $$\varepsilon = N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = 50 \times \frac{5.0 \times 10^{-5}}{0.20} = 0.0125 \text{ V} = 12.5 \text{ mV}$$

> **tip**
>
> 计算时一定要记得带上匝数$N$——这是法拉第定律考题中最容易丢分的点。

## 楞次定律与能量守恒

**楞次定律** — 感应电流产生的磁场效应会阻碍产生该电流的磁通量变化。

楞次定律不是任意的方向规则，它是能量守恒定律的直接结果。如果感应电流帮助产生它的变化，那么不需要输入能量就能获得机械能和电能，违反能量守恒定律。

**例题:** 条形磁铁的N极向固定的导电线圈移动。从磁铁一侧观察，感应电流的方向是什么？

1. 1. 识别磁通量变化：当N极靠近时，穿过线圈、指向磁铁方向的磁通量增加。
2. 2. 应用楞次定律：感应电流必须产生一个磁场来阻碍这个增加。因此感应磁场方向背离磁铁（朝向靠近的N极以排斥它）。
3. 3. 使用右手螺旋定则：拇指指向感应磁场方向，四指弯曲方向就是电流方向：从磁铁一侧观察为逆时针方向。

> **mnemonic**
>
> 来拒去留：靠近的磁极会被同名感应磁极排斥，远离的磁极会被异名感应磁极吸引。

## 两条定律的结合应用

大多数考题要求你用法拉第定律求大小，用楞次定律求方向。我们以导轨上移动的导体棒为例演示，这是CIE常见题型：

**例题:** 一根长0.5 m的导体棒以$2.0 \text{ m s}^{-1}$的速度沿平行导轨向右运动，垂直于方向垂直纸面向里的0.4 T匀强磁场。求感应电流的大小和方向。

1. 1. 计算磁通量的变化率。磁通量$\Phi = BA = Blx$，其中$x$是电路的长度。$\frac{d\Phi}{dt} = Bl \frac{dx}{dt} = Blv$：
2. $$\frac{d\Phi}{dt} = 0.4 \times 0.5 \times 2.0 = 0.4 \text{ Wb s}^{-1}$$
3. 2. 法拉第定律：单匝线圈$N=1$，因此感应电动势$\varepsilon = 0.4 \text{ V}$。
4. 3. 楞次定律：导体棒向右移动时，垂直纸面向里的磁通量增加。感应电流必须产生垂直纸面向外的磁通量来阻碍变化。根据右手定则，电流沿回路逆时针流动，因此在移动的导体棒中方向向上。

**概念自测**

测试你对楞次方向规则的理解

1. 一个S极被拉离线圈，面向磁铁的线圈侧的极性是什么？

   - N极
   - S极
   - 无极性

   *答案:* N极

   *解析:* 正确：远离的S极必须被感应磁极吸引，因此面向磁铁一侧为N极。

2. 穿过线圈、方向向右的磁通量正在减小，感应磁场的方向是什么？

   - 向左
   - 向右
   - 零

   *答案:* 向右

   *解析:* 正确：感应磁场阻碍变化。向右的磁通量减小意味着变化是向右磁通量的损失，因此感应磁场补充向右的磁通量来阻碍变化。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算感应电动势时忘记乘以匝数$N$
  - 原因: 法拉第定律使用的是磁链（所有匝的总磁通量），不是单匝磁通量。漏写N会在大多数计算题中丢失1-2分。
  - 正确做法: 计算电动势前，一定要将单匝磁通量变化乘以匝数得到磁链变化。
- **错误做法:** 将楞次定律表述为'感应电流阻碍磁场'，而不是磁通量的变化。
  - 原因: 这是常见的错误表述，会在定义或解释题中丢失全部分数。
  - 正确做法: 一定要提及磁通量的变化：'感应电流阻碍产生它的磁通量变化'。
- **错误做法:** 磁通量减小时方向判断错误，默认感应电流阻碍原磁场。
  - 原因: 学生忘记我们阻碍的是变化，不是磁场。如果磁通量减小，变化是磁通量减少，不是磁通量本身。
  - 正确做法: 先问自己：磁通量是增加还是减少？如果减少，感应磁场方向和原磁场方向相同。
- **错误做法:** 正弦旋转线圈磁通量问题中使用角度制而不是弧度制。
  - 原因: 正弦/余弦函数求导只有在角度为弧度制时才会得到正确结果，因此会得到错误的电动势值。
  - 正确做法: 计算旋转线圈感应电动势时，始终将计算器切换为弧度制模式。

## 速查表

| 概念 | 公式/规则 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 法拉第定律（大小） | $\varepsilon = N \frac{\|\Delta \Phi\|}{\Delta t}$ | 使用磁链，不是单匝磁通量 |
| 楞次定律方向 | 感应电流阻碍磁通量变化 | 阻碍变化，不是磁通量本身 |
| 磁铁靠近 | 感应磁极 = 入射磁极 | 排斥靠近的磁铁 |
| 磁铁远离 | 感应磁极 = 与远离磁极异名 | 吸引远离的磁铁 |
| 运动导体棒电动势 | $\varepsilon = Blv$ | 适用于$v$, $B$, $l$互相垂直的情况 |

## 下一步

法拉第定律和楞次定律是所有电磁感应的基础，是现代电网发电、变压器和电感电子元件的原理。掌握这些定律对CIE A-Level电磁学后续所有主题都至关重要。你会将这些规则应用于发电机、变压器和涡流制动的扩展回答题，这些题目占本单元分数的很大一部分。你可以通过以下相关子主题加深理解，继续备考。

- [感应电动势](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u24-induced-e-m-f/)
- [交流电](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u25-overview/)

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