运动带电粒子受到的力

CIE A-Level 物理· 第23单元：磁场，23.3 运动电荷受到的力· 15 分钟阅读

1. 力的大小与方向★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

运动电荷受到的磁力

F

在磁场中运动的带电粒子受到的力，大小与电荷量、速度的垂直分量、磁通量密度成正比。

例:

一个质子以 $1 0^{5} m s^{- 1}$ 垂直射入0.1 T的磁场，受到的力约为 $1.6 \times 1 0^{- 15} N$ 。

力大小的通用公式如下，其中 $θ$ 是速度 $v$ 与磁通量密度 $B$ 之间的夹角：

F = qvB \sin\theta

如果 $v$ 平行于 $B$ ， $θ = 0^{\circ}$ 所以 $sin θ = 0$ ，意味着不受力。如果 $v$ 垂直于 $B$ ， $θ = 9 0^{\circ}$ 所以 $sin θ = 1$ ，此时 $F = q v B$ 。

对于正电荷，使用弗莱明左手定则判断方向；对于负电荷，力的方向相反。

📐 例题

一个电子的电荷量为 $- 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ ，以 $2.0 \times 1 0^{6} m s^{- 1}$ 垂直射入0.5 T的匀强磁场，计算电子受到的力的大小。

1
速度垂直于B，因此 $sin θ = 1$ ，力的大小为 $F = ∣ q ∣ v B$ ：
2
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.0 \times 10^6) \times 0.5$
3
计算最终结果：
4
$F = 1.6 \times 10^{-13} \text{ N}$

2. 电荷在匀强磁场中的圆周运动★★★☆☆⏱ 5 min

当带电粒子垂直射入匀强磁场时，力始终垂直于速度。这意味着力不做功（因此速度大小保持不变），同时充当向心力，使粒子做匀速圆周运动。

🔬 推导

目标:

推导圆周运动半径公式

起点:

将磁力与向心力等式联立

1
垂直情况下的磁力：
2
$F = qvB$
3
质量为 $m$ 、半径为 $r$ 的圆周运动向心力：
4
$F = \frac{mv^2}{r}$
5
联立两个力：
6
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
7
两边消去非零的 $v$ ：
8
$qB = \frac{mv}{r}$

结果:

整理后得到半径公式： $r = \frac{m v}{q B} = \frac{p}{q B}$ ，其中 $p$ 是粒子的动量。

📐 例题

一个质子的质量为 $1.67 \times 1 0^{- 27} kg$ ，电荷量为 $1.6 \times 1 0^{- 19} C$ ，在0.15 T的匀强磁场中做半径为0.2 m的圆周运动，计算质子的速度。

1
整理半径公式求解 $v$ ：
2
$v = \frac{qBr}{m}$
3
代入已知数值：
4
$v = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (0.15) \times (0.2)}{1.67 \times 10^{-27}}$
5
计算最终结果：
6
$v \approx 2.9 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$

3. 应用：速度选择器★★★☆☆⏱ 5 min

📘 定义

速度选择器

一种拥有垂直（交叉）匀强电场和匀强磁场的装置，只允许特定速度的带电粒子无偏转地通过。

例:

用于质谱仪中，在质量分离前过滤离子。

要让粒子无偏转通过，电场力必须与磁力平衡，合力为零。

📐 例题

证明只有速度为 $v = \frac{E}{B}$ 的粒子才能无偏转通过速度选择器。

1
电荷量为 $q$ 的粒子受到的电场力： $F_{E} = q E$ （方向取决于电荷正负）
2
（v垂直于B时）磁力： $F_{B} = q v B$ （方向与 $F_{E}$ 相反）
3
无偏转运动时合力为零，因此两个力的大小相等：
4
$qE = qvB$
5
两边消去非零的 $q$ 得到：
6
$v = \frac{E}{B}$

✓ 快速检测

测试你的理解

一个正离子的速度大于 $v = \frac{E}{B}$ ，射入速度选择器后会发生什么？
- 向电场力方向偏转
- 向磁力方向偏转
- 无偏转通过
- 立即停止
显示答案
1 —
当 $v > \frac{E}{B}$ 时， $q v B > q E$ ，因此磁力大于电场力，离子向磁力方向偏转。

4. 常见陷阱

错误做法:

使用弗莱明左手定则时，忘记对负电荷反转力的方向

原因:

弗莱明左手定则是针对常规电流（正电荷运动）定义的，因此负电荷受力方向相反

正确做法:

对于电子和其他负电荷，始终将弗莱明左手定则给出的方向反转

错误做法:

速度平行于磁场时使用 $F = q v B$

原因:

速度平行于B时 $sin θ$ 项为零，因此不受力

正确做法:

始终使用完整公式 $F = q v B sin θ$ ，并检查速度与B的夹角

错误做法:

声称粒子在磁场中做圆周运动时速度会增大

原因:

力始终垂直于速度，因此不做功，无法改变动能和速度大小

正确做法:

认识到只有运动方向改变，速度大小和动能保持不变

错误做法:

认为速度选择器中所有无偏转粒子的速度都是 $v = E / B$

原因:

中性粒子电荷量为零，因此不受力，无论速度多少都能无偏转通过

正确做法:

注意速度选择器仅对带电粒子筛选速度，中性粒子不受影响

5. 速查表

概念	公式/规则	要点
力的大小	$F = q v B sin θ$	$θ$ = $v$ 与 $B$ 的夹角
方向（正电荷）	弗莱明左手定则	FBI：磁场、电流、力
方向（负电荷）	弗莱明结果的反向	电荷符号反转受力方向
圆周路径半径	$r = \frac{m v}{q B} = \frac{p}{q B}$	$r$ 与动量成正比
速度选择器（无偏转）	$v = \frac{E}{B}$	交叉的电场和磁场

6. 常见问题

为什么磁力总是垂直于速度？

磁力由 $v$ 和 $B$ 的叉乘给出，因此它没有平行于速度的分量。这意味着磁力只改变运动方向，不改变速度大小。

真题中的出现

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2023 · Paper 4
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2022 · Paper 2
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2021 · Paper 1
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下一步

理解运动带电粒子受到的力是CIE A-Level物理中许多核心电磁学主题的基础，包括质谱、回旋加速器和霍尔效应。在Paper 2和Paper 4的考题中，这个概念经常与电荷在电场中的运动结合出题，因此将这两个主题联系起来对考试成功至关重要。掌握本子主题也能为CIE 9702大纲下一个核心单元——电磁感应做好准备。