# 运动带电粒子受到的力

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u23-force-on-moving-charged-particle/

本子主题讲解磁场如何对运动带电粒子施加力，如何计算力的大小和方向，以及电荷在匀强磁场中做圆周运动的规律，这是CIE A-Level考试的核心概念。

**先修:** [磁通量密度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u23-magnetic-flux-density/); [圆周运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u12-circular-motion/)

## 学习目标

- 回忆并运用运动带电粒子受到的磁力公式
- 确定正电荷和负电荷受到的力的方向
- 推导并运用电荷在磁场中做圆周运动的半径公式
- 分析速度选择器这类常见应用的工作原理

## 力的大小与方向

**运动电荷受到的磁力** — 在磁场中运动的带电粒子受到的力，大小与电荷量、速度的垂直分量、磁通量密度成正比。

*记法:* F

*例:* 一个质子以$10^5 \text{ m s}^{-1}$垂直射入0.1 T的磁场，受到的力约为$1.6 \times 10^{-15} \text{ N}$。

力大小的通用公式如下，其中$\theta$是速度$\vec{v}$与磁通量密度$\vec{B}$之间的夹角：

$$F = qvB \sin\theta$$

如果$\vec{v}$平行于$\vec{B}$，$\theta = 0^\circ$所以$\sin\theta = 0$，意味着不受力。如果$\vec{v}$垂直于$\vec{B}$，$\theta = 90^\circ$所以$\sin\theta = 1$，此时$F = qvB$。

对于正电荷，使用弗莱明左手定则判断方向；对于负电荷，力的方向相反。

> **FBI记忆法**
>
> 食指 = 磁场方向，中指 = 电流方向（正电荷运动方向），拇指 = 受力方向。这个记忆法方便考试时快速回忆规则。

**例题:** 一个电子的电荷量为$-1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$，以$2.0 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$垂直射入0.5 T的匀强磁场，计算电子受到的力的大小。

1. 速度垂直于B，因此$\sin\theta = 1$，力的大小为$F = |q|vB$：
2. $$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.0 \times 10^6) \times 0.5$$
3. 计算最终结果：
4. $$F = 1.6 \times 10^{-13} \text{ N}$$

## 电荷在匀强磁场中的圆周运动

当带电粒子垂直射入匀强磁场时，力始终垂直于速度。这意味着力不做功（因此速度大小保持不变），同时充当向心力，使粒子做匀速圆周运动。

**推导:** 推导圆周运动半径公式

*起点:* 将磁力与向心力等式联立

1. 垂直情况下的磁力：
2. $$F = qvB$$
3. 质量为$m$、半径为$r$的圆周运动向心力：
4. $$F = \frac{mv^2}{r}$$
5. 联立两个力：
6. $$qvB = \frac{mv^2}{r}$$
7. 两边消去非零的$v$：
8. $$qB = \frac{mv}{r}$$

*结论:* 整理后得到半径公式：$r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$，其中$p$是粒子的动量。

**例题:** 一个质子的质量为$1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$，电荷量为$1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$，在0.15 T的匀强磁场中做半径为0.2 m的圆周运动，计算质子的速度。

1. 整理半径公式求解$v$：
2. $$v = \frac{qBr}{m}$$
3. 代入已知数值：
4. $$v = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (0.15) \times (0.2)}{1.67 \times 10^{-27}}$$
5. 计算最终结果：
6. $$v \approx 2.9 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$$

## 应用：速度选择器

**速度选择器** — 一种拥有垂直（交叉）匀强电场和匀强磁场的装置，只允许特定速度的带电粒子无偏转地通过。

*例:* 用于质谱仪中，在质量分离前过滤离子。

要让粒子无偏转通过，电场力必须与磁力平衡，合力为零。

**例题:** 证明只有速度为$v = \frac{E}{B}$的粒子才能无偏转通过速度选择器。

1. 电荷量为$q$的粒子受到的电场力：$F_E = qE$（方向取决于电荷正负）
2. （v垂直于B时）磁力：$F_B = qvB$（方向与$F_E$相反）
3. 无偏转运动时合力为零，因此两个力的大小相等：
4. $$qE = qvB$$
5. 两边消去非零的$q$得到：
6. $$v = \frac{E}{B}$$

**概念自测**

测试你的理解

1. 一个正离子的速度大于$v = \frac{E}{B}$，射入速度选择器后会发生什么？

   - 向电场力方向偏转
   - 向磁力方向偏转
   - 无偏转通过
   - 立即停止

   *答案:* 向磁力方向偏转

   *解析:* 当$v > \frac{E}{B}$时，$qvB > qE$，因此磁力大于电场力，离子向磁力方向偏转。

## 常见错误

- **错误做法:** 使用弗莱明左手定则时，忘记对负电荷反转力的方向
  - 原因: 弗莱明左手定则是针对常规电流（正电荷运动）定义的，因此负电荷受力方向相反
  - 正确做法: 对于电子和其他负电荷，始终将弗莱明左手定则给出的方向反转
- **错误做法:** 速度平行于磁场时使用$F = qvB$
  - 原因: 速度平行于B时$\sin\theta$项为零，因此不受力
  - 正确做法: 始终使用完整公式$F = qvB \sin\theta$，并检查速度与B的夹角
- **错误做法:** 声称粒子在磁场中做圆周运动时速度会增大
  - 原因: 力始终垂直于速度，因此不做功，无法改变动能和速度大小
  - 正确做法: 认识到只有运动方向改变，速度大小和动能保持不变
- **错误做法:** 认为速度选择器中所有无偏转粒子的速度都是$v = E/B$
  - 原因: 中性粒子电荷量为零，因此不受力，无论速度多少都能无偏转通过
  - 正确做法: 注意速度选择器仅对带电粒子筛选速度，中性粒子不受影响

## 速查表

| 概念 | 公式/规则 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 力的大小 | $F = qvB \sin\theta$ | $\theta$ = $v$与$B$的夹角 |
| 方向（正电荷） | 弗莱明左手定则 | FBI：磁场、电流、力 |
| 方向（负电荷） | 弗莱明结果的反向 | 电荷符号反转受力方向 |
| 圆周路径半径 | $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ | $r$与动量成正比 |
| 速度选择器（无偏转） | $v = \frac{E}{B}$ | 交叉的电场和磁场 |

## 下一步

理解运动带电粒子受到的力是CIE A-Level物理中许多核心电磁学主题的基础，包括质谱、回旋加速器和霍尔效应。在Paper 2和Paper 4的考题中，这个概念经常与电荷在电场中的运动结合出题，因此将这两个主题联系起来对考试成功至关重要。掌握本子主题也能为CIE 9702大纲下一个核心单元——电磁感应做好准备。

- [带电粒子在磁场中的运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u23-charged-particle-motion-in-b/)
- [霍尔效应](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u23-hall-effect/)
- [电磁感应](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u24-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u23-force-on-moving-charged-particle/