带电粒子在磁场中的运动

CIE A-Level 物理· 第23单元：磁场· 45 分钟阅读

1. 运动带电粒子受到的力★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

运动电荷受到的磁场力

F = Bqv\sin\theta

电荷量为 $q$ 、速度为 $v$ 的粒子在磁通量密度为 $B$ 的磁场中受到的力，其中 $θ$ 是速度矢量与磁场的夹角。方向由正电荷的弗莱明左手定则（FLHR）确定。

例:

平行于磁场运动的电子受到的净磁场力为零。

磁场力始终同时垂直于速度和磁场矢量。由于力始终垂直于位移，因此它对粒子不做功。这意味着粒子的速率和动能保持不变，只有运动方向发生改变。

📐 例题

一个速率为 $2.0 \times 1 0^{6} m s^{- 1}$ 的质子进入磁通量密度为 $0.10 T$ 的均匀磁场，速度方向与磁感线成 $9 0^{\circ}$ 角。计算质子受到的力的大小（ $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ ）。

1
列出已知量： $q = e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ ， $v = 2.0 \times 1 0^{6} m s^{- 1}$ ， $B = 0.10 T$ ， $sin 9 0^{\circ} = 1$
2
代入力的公式：
3
$F = Bqv\sin\theta = 0.10 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^6 \times 1$
4
计算最终力的大小：
5
$F = 3.2 \times 10^{-14} \text{ N}$

2. 均匀磁场中的圆周运动★★★☆☆⏱ 15 min

当带电粒子以垂直于磁感线的速度进入均匀磁场时，恒定的垂直磁场力提供匀速圆周运动所需的向心力。

🔬 推导

目标:

推导带电粒子在垂直均匀磁场中圆轨道的半径

起点:

将磁场力与向心力相等

1
磁场力（ $θ = 9 0^{\circ}$ 垂直， $sin θ = 1$ ）： $F_{B} = B q v$
2
质量 $m$ 、半径 $r$ 对应的向心力： $F_{c} = \frac{m v ^{2}}{r}$
3
令两力相等： $B q v = \frac{m v ^{2}}{r}$
4
整理得 $r$ ，两边约去 $v$ ：

结果:

$r = \frac{m v}{B q} = \frac{p}{B q}$ ，其中 $p$ 是粒子动量。轨道半径与动量成正比，与 $B$ 和 $q$ 成反比。

我们还可以推导周期 $T$ （完成一周轨道运动的时间）和频率 $f$ 。将 $v = \frac{2 π r}{T}$ 代入 $r = \frac{m v}{B q}$ 得 $T = \frac{2 π m}{B q}$ ，因此频率 $f = \frac{B q}{2 π m}$ 。关键一点是，频率与速度和轨道半径无关。

📐 例题

动能为 $1.2 \times 1 0^{- 17} J$ 的电子垂直运动进入磁通量密度为 $0.50 T$ 的均匀磁场。计算轨道半径（ $m_{e} = 9.11 \times 1 0^{- 31} kg$ ， $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ ）。

1
首先由动能求电子速率：
2
$E_k = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$
3
计算 $v$ ：
4
$v = \sqrt{\frac{2 \times 1.2 \times 10^{-17}}{9.11 \times 10^{-31}}} \approx 5.1 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$
5
使用轨道半径公式：
6
$r = \frac{m_e v}{B e} = \frac{9.11 \times 10^{-31} \times 5.1 \times 10^6}{0.50 \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 5.8 \times 10^{-5} \text{ m}$

3. 速度选择器：正交电场与磁场★★★☆☆⏱ 10 min

速度选择器利用垂直（正交）的均匀电场和磁场筛选带电粒子。只有特定速度的粒子能不偏转地通过装置，其余粒子会发生偏转并被过滤掉。

📘 定义

速度选择器的不偏转条件

v = \frac{E}{B}

粒子沿直线通过的条件是电场力恰好平衡磁场力，净力为零。

📐 例题

某速度选择器的电场强度为 $3.0 \times 1 0^{4} V m^{- 1}$ ，磁感应强度为 $0.20 T$ 。什么速度的粒子可以不偏转通过？

1
令电场力等于磁场力：
2
$qE = Bqv$
3
两边约去电荷量 $q$ 并整理：
4
$v = \frac{E}{B} = \frac{3.0 \times 10^4}{0.20} = 1.5 \times 10^5 \text{ m s}^{-1}$

4. 回旋加速器★★★★☆⏱ 10 min

回旋加速器是一种粒子加速器，它利用了回旋频率与速度和半径无关这一性质。它由均匀磁场中的两个空心D形电极组成，电极之间加有交变电势差。

粒子从中心注入，每次穿过D形电极间隙时都会被电场加速。交变电压的频率与回旋频率匹配，因此始终同相加速粒子。由于频率与半径无关，粒子加速时不需要调整频率。

📐 例题

某回旋加速器加速质子，磁感应强度为 $1.2 T$ 。计算交变电压所需的频率（ $m_{p} = 1.67 \times 1 0^{- 27} kg$ ， $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ ）。

1
交变电压的频率必须与回旋频率相等：
2
$f_c = \frac{Bq}{2\pi m_p}$
3
代入数值：
4
$f_c = \frac{1.2 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2\pi \times 1.67 \times 10^{-27}} \approx 18 \times 10^6 \text{ Hz} = 18 \text{ MHz}$

5. 常见陷阱

错误做法:

对电子使用弗莱明左手定则时不反转电流方向

原因:

电子带负电，因此常规电流方向与电子运动方向相反

正确做法:

对负电荷使用弗莱明左手定则时反转速度方向

错误做法:

认为磁场力对粒子做功改变其动能

原因:

力始终垂直于位移，因此做功为零

正确做法:

动能和速率保持不变；只有运动方向改变

错误做法:

声称回旋频率取决于粒子速度

原因:

推导公式 $f_{c} = \frac{B q}{2 π m}$ 中没有速度项

正确做法:

记住回旋频率与粒子速率和轨道半径无关

错误做法:

在 $F = B q v sin θ$ 中使用错误的夹角

原因:

$θ$ 是 $v$ 与 $B$ 之间的夹角，不是 $v$ 与 $F$ 之间的夹角

正确做法:

始终测量速度与磁场方向之间的 $θ$

错误做法:

声称轨道半径与动量成反比

原因:

从 $r = \frac{m v}{B q}$ ，轨道半径与动量 $p = m v$ 成正比

正确做法:

动量越大的粒子轨道半径越大

6. 速查表

物理量	公式	要点
磁场力	$F = B q v sin θ$	$θ$ = $v$ 与 $B$ 的夹角
轨道半径（垂直B场）	$r = \frac{m v}{B q} = \frac{p}{B q}$	与动量成正比
轨道周期	$T = \frac{2 π m}{B q}$	与速度无关
回旋频率	$f_{c} = \frac{B q}{2 π m}$	与交变电压频率匹配
速度选择器出射速度	$v = \frac{E}{B}$	独立于 $m$ , $q$
回旋加速器最大动能	$E_{k (ma x)} = \frac{( B q r _{ma x} ) ^{2}}{2 m}$	取决于最大轨道半径

下一步

理解带电粒子在磁场中的运动是CIE A-Level考试中许多应用物理主题的核心基础，包括质谱法和粒子加速器物理。它连接了你之前学过的匀速圆周运动、力和电磁学知识，并且经常在多问考题中与电场概念结合考察。许多考题会测试你推导关键公式并将其应用于新情景的能力，因此掌握这里的推导对拿高分至关重要。你在此学到的概念也是理解电子束的基础，而电子束是考试中常见的情景。