# 带电粒子在磁场中的运动

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u23-charged-particle-motion-in-b/

本模块讲解磁场如何对运动带电粒子施加力，描述由此产生的圆周运动和螺旋运动，并将核心理论应用于常见考试装置，包括速度选择器和回旋加速器。

**先修:** [载流导线受到的磁场力](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u23-magnetic-force-on-current-wires/); [匀速圆周运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u13-uniform-circular-motion/)

## 学习目标

- 计算运动带电粒子受到的磁场力
- 推导均匀磁场中圆周运动的半径、周期和频率
- 解释速度选择器和回旋加速器的工作原理
- 将核心概念应用于标准考题

## 运动带电粒子受到的力

**运动电荷受到的磁场力** — 电荷量为$q$、速度为$v$的粒子在磁通量密度为$B$的磁场中受到的力，其中$\theta$是速度矢量与磁场的夹角。方向由正电荷的弗莱明左手定则（FLHR）确定。

*记法:* F = Bqv\sin\theta

*例:* 平行于磁场运动的电子受到的净磁场力为零。

磁场力始终同时垂直于速度和磁场矢量。由于力始终垂直于位移，因此它对粒子不做功。这意味着粒子的速率和动能保持不变，只有运动方向发生改变。

> **弗莱明左手定则**
>
> 食指 = 磁场方向，中指 = 电流方向（正电荷运动方向），拇指 = 运动方向（力的方向）。

**例题:** 一个速率为$2.0 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$的质子进入磁通量密度为$0.10 \text{ T}$的均匀磁场，速度方向与磁感线成$90^\circ$角。计算质子受到的力的大小（$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$）。

1. 列出已知量：$q = e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$，$v = 2.0 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$，$B = 0.10 \text{ T}$，$\sin 90^\circ = 1$
2. 代入力的公式：
3. $$F = Bqv\sin\theta = 0.10 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^6 \times 1$$
4. 计算最终力的大小：
5. $$F = 3.2 \times 10^{-14} \text{ N}$$

## 均匀磁场中的圆周运动

当带电粒子以垂直于磁感线的速度进入均匀磁场时，恒定的垂直磁场力提供匀速圆周运动所需的向心力。

**推导:** 推导带电粒子在垂直均匀磁场中圆轨道的半径

*起点:* 将磁场力与向心力相等

1. 磁场力（$\theta = 90^\circ$垂直，$\sin\theta = 1$）：$F_B = Bqv$
2. 质量$m$、半径$r$对应的向心力：$F_c = \frac{mv^2}{r}$
3. 令两力相等：$Bqv = \frac{mv^2}{r}$
4. 整理得$r$，两边约去$v$：

*结论:* $r = \frac{mv}{Bq} = \frac{p}{Bq}$，其中$p$是粒子动量。轨道半径与动量成正比，与$B$和$q$成反比。

我们还可以推导周期$T$（完成一周轨道运动的时间）和频率$f$。将$v = \frac{2\pi r}{T}$代入$r = \frac{mv}{Bq}$得$T = \frac{2\pi m}{Bq}$，因此频率$f = \frac{Bq}{2\pi m}$。关键一点是，频率与速度和轨道半径无关。

**例题:** 动能为$1.2 \times 10^{-17} \text{ J}$的电子垂直运动进入磁通量密度为$0.50 \text{ T}$的均匀磁场。计算轨道半径（$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$，$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$）。

1. 首先由动能求电子速率：
2. $$E_k = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$$
3. 计算$v$：
4. $$v = \sqrt{\frac{2 \times 1.2 \times 10^{-17}}{9.11 \times 10^{-31}}} \approx 5.1 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$$
5. 使用轨道半径公式：
6. $$r = \frac{m_e v}{B e} = \frac{9.11 \times 10^{-31} \times 5.1 \times 10^6}{0.50 \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 5.8 \times 10^{-5} \text{ m}$$

## 速度选择器：正交电场与磁场

速度选择器利用垂直（正交）的均匀电场和磁场筛选带电粒子。只有特定速度的粒子能不偏转地通过装置，其余粒子会发生偏转并被过滤掉。

**速度选择器的不偏转条件** — 粒子沿直线通过的条件是电场力恰好平衡磁场力，净力为零。

*记法:* v = \frac{E}{B}

**例题:** 某速度选择器的电场强度为$3.0 \times 10^4 \text{ V m}^{-1}$，磁感应强度为$0.20 \text{ T}$。什么速度的粒子可以不偏转通过？

1. 令电场力等于磁场力：
2. $$qE = Bqv$$
3. 两边约去电荷量$q$并整理：
4. $$v = \frac{E}{B} = \frac{3.0 \times 10^4}{0.20} = 1.5 \times 10^5 \text{ m s}^{-1}$$

> **tip**
>
> 电荷量会被约去，因此选出的速度与粒子质量和电荷量无关。这是考试中非常常见的考点。

## 回旋加速器

回旋加速器是一种粒子加速器，它利用了回旋频率与速度和半径无关这一性质。它由均匀磁场中的两个空心D形电极组成，电极之间加有交变电势差。

粒子从中心注入，每次穿过D形电极间隙时都会被电场加速。交变电压的频率与回旋频率匹配，因此始终同相加速粒子。由于频率与半径无关，粒子加速时不需要调整频率。

**例题:** 某回旋加速器加速质子，磁感应强度为$1.2 \text{ T}$。计算交变电压所需的频率（$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$，$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$）。

1. 交变电压的频率必须与回旋频率相等：
2. $$f_c = \frac{Bq}{2\pi m_p}$$
3. 代入数值：
4. $$f_c = \frac{1.2 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2\pi \times 1.67 \times 10^{-27}} \approx 18 \times 10^6 \text{ Hz} = 18 \text{ MHz}$$

> **exam_tip**
>
> 出射粒子的最大动能取决于D形电极的最大半径：$E_{k(max)} = \frac{(B q r_{max})^2}{2m}$。

## 常见错误

- **错误做法:** 对电子使用弗莱明左手定则时不反转电流方向
  - 原因: 电子带负电，因此常规电流方向与电子运动方向相反
  - 正确做法: 对负电荷使用弗莱明左手定则时反转速度方向
- **错误做法:** 认为磁场力对粒子做功改变其动能
  - 原因: 力始终垂直于位移，因此做功为零
  - 正确做法: 动能和速率保持不变；只有运动方向改变
- **错误做法:** 声称回旋频率取决于粒子速度
  - 原因: 推导公式$f_c = \frac{Bq}{2\pi m}$中没有速度项
  - 正确做法: 记住回旋频率与粒子速率和轨道半径无关
- **错误做法:** 在$F = Bqv\sin\theta$中使用错误的夹角
  - 原因: $\theta$是$v$与$B$之间的夹角，不是$v$与$F$之间的夹角
  - 正确做法: 始终测量速度与磁场方向之间的$\theta$
- **错误做法:** 声称轨道半径与动量成反比
  - 原因: 从$r = \frac{mv}{Bq}$，轨道半径与动量$p = mv$成正比
  - 正确做法: 动量越大的粒子轨道半径越大

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 磁场力 | $F = Bqv\sin\theta$ | $\theta$ = $v$与$B$的夹角 |
| 轨道半径（垂直B场） | $r = \frac{mv}{Bq} = \frac{p}{Bq}$ | 与动量成正比 |
| 轨道周期 | $T = \frac{2\pi m}{Bq}$ | 与速度无关 |
| 回旋频率 | $f_c = \frac{Bq}{2\pi m}$ | 与交变电压频率匹配 |
| 速度选择器出射速度 | $v = \frac{E}{B}$ | 独立于$m$, $q$ |
| 回旋加速器最大动能 | $E_{k(max)} = \frac{(B q r_{max})^2}{2m}$ | 取决于最大轨道半径 |

## 下一步

理解带电粒子在磁场中的运动是CIE A-Level考试中许多应用物理主题的核心基础，包括质谱法和粒子加速器物理。它连接了你之前学过的匀速圆周运动、力和电磁学知识，并且经常在多问考题中与电场概念结合考察。许多考题会测试你推导关键公式并将其应用于新情景的能力，因此掌握这里的推导对拿高分至关重要。你在此学到的概念也是理解电子束的基础，而电子束是考试中常见的情景。

- [霍尔效应](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u23-hall-effect/)
- [电磁感应](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u24-overview/)
- [磁通量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u24-magnetic-flux/)

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