# 电容器的充电与放电

> CIE A-Level 物理学 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u22-capacitor-charging-and-discharging/

本模块讲解电容器从直流电源充电、通过电阻放电过程中的指数变化规律。你将学习计算关键物理量、解读图像，并解决CIE A-Level考试中的常见问题。

**先修:** [电容的定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u22-capacitance-fundamentals/); [欧姆定律与基尔霍夫电路定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-dc-circuits-fundamentals/)

## 学习目标

- 描述RC电路中电容器的充电和放电过程
- 推导并应用电荷量、电压和电流的指数方程
- 计算并解释RC电路的时间常数
- 绘制并解释充电和放电过程的图像

## 电容器的充电过程

当不带电的电容器与电阻、直流电池串联连接时，电荷开始在电容器极板上积累。电路中持续有电流流动，直到电容器两端的电势差等于电池的电动势，此时电流降至零。

**电容器充电** — 电容器连接到直流电源后，电荷在极板上积累，直到电容器电压等于电源电动势的过程

*例:* 一个10 μF的电容器通过电阻连接到12 V电池，会持续充电直到极板两端电压达到12 V。

**例题:** 一个10 μF电容器通过50 kΩ电阻由12 V电池充电。计算1个时间常数后电容器上的电荷量，以及充电开始时的初始电流。

1. 首先计算时间常数 $\tau = RC$:
2. $$\tau = (50 \times 10^3 \Omega)(10 \times 10^{-6} F) = 0.5 \text{ s}$$
3. 充满电后的最终电荷量为 $Q_0 = C V_0 = 10 \times 10^{-6} \times 12 = 1.2 \times 10^{-4} C$。充电过程中，时刻$t$的电荷量满足 $Q = Q_0(1 - e^{-t/\tau})$。当 $t = \tau$ 时:
4. $$Q = 1.2 \times 10^{-4} (1 - e^{-1}) ≈ 0.63 \times 1.2 \times 10^{-4} = 7.56 \times 10^{-5} C$$
5. 充电开始时 ($t=0$)，所有电压都加在电阻上，因此初始电流为:
6. $$I_0 = \frac{V_0}{R} = \frac{12}{50 \times 10^3} = 2.4 \times 10^{-4} A = 0.24 mA$$

> **tip**
>
> 充电开始时：$V_C = 0$，$I = I_{max}$。充电结束时：$V_C = V_0$，$I = 0$。

## 电容器的放电过程

当带电电容器两端连接电阻时，电荷通过电阻从一个极板流向另一个极板，直到电容器两端的电势差为零。放电速率与剩余电荷量成正比，因此形成指数衰减。

**指数放电** — 电容器的放电遵循指数衰减规律，电荷量、电压和电流都从初始值指数衰减至零。

**例题:** 一个20 μF电容器充电至10 V，然后通过100 kΩ电阻放电。计算2秒后电容器两端的电压，以及1秒后的电流。

1. 计算时间常数:
2. $$\tau = RC = (100 \times 10^3 \Omega)(20 \times 10^{-6} F) = 2 \text{ s}$$
3. 放电过程中，电压满足 $V = V_0 e^{-t/\tau}$。代入 $t = 2$ s:
4. $$V = 10 e^{-2/2} = 10 e^{-1} ≈ 3.68 V$$
5. 初始电流为 $I_0 = V_0/R = 10/(100 \times 10^3) = 1 \times 10^{-4} A$。当 $t = 1$ s:
6. $$I = I_0 e^{-t/\tau} = 1 \times 10^{-4} e^{-0.5} ≈ 6.07 \times 10^{-5} A = 60.7 \mu A$$

> **note**
>
> 放电过程中，电荷量、电压和电流都以相同的时间常数指数衰减。

> **考试提示:** 在选择正确方程前，务必确认题目问的是充电还是放电过程。

## 时间常数与图像解读

时间常数 $\tau = RC$ 决定了充电或放电的快慢。$\tau$ 越大（R或C越大），过程越慢；$\tau$ 越小，充放电越快。

**时间常数** — 放电过程：电荷量下降至初始值的$1/e ≈ 37\%$所需的时间。充电过程：电荷量上升至最终值的$≈63\%$所需的时间。

*记法:* \tau = RC

| 物理量 | 充电（随时间变化） | 放电（随时间变化） |
| --- | --- | --- |
| 电荷量 $Q$ | 从0指数上升至 $Q_0$ | 从 $Q_0$ 指数下降至0 |
| 电容器电压 $V_C$ | 从0指数上升至 $V_0$ | 从 $V_0$ 指数下降至0 |
| 电路电流 $I$ | 从 $I_0$ 指数下降至0 | 从 $I_0$ 指数下降至0 |

> **mnemonic**
>
> 63升，37降：经过1个时间常数后，充电过程电荷量达到最终值的63%，放电过程剩余初始电荷量的37%。

**例题:** 电容器放电的半衰期为10 s，计算该电路的时间常数。

1. 半衰期 $T_{1/2}$ 是 $Q = Q_0/2$ 对应的时间。代入放电方程:
2. $$\frac{Q_0}{2} = Q_0 e^{-T_{1/2}/\tau} → \frac{1}{2} = e^{-T_{1/2}/\tau}$$
3. 对两边取自然对数:
4. $$\ln(1/2) = -\frac{T_{1/2}}{\tau} → -\ln 2 = -\frac{T_{1/2}}{\tau} → \tau = \frac{T_{1/2}}{\ln 2}$$
5. 代入 $T_{1/2} = 10$ s:
6. $$\tau = \frac{10}{0.693} ≈ 14.4 \text{ s}$$

## 放电方程的推导

CIE考试经常要求从基本原理推导指数放电方程，因此记住所有推导步骤非常重要。

**推导:** 推导电容器放电过程中电荷量的指数方程

*起点:* 放电RC电路的基尔霍夫电压定律

1. 带电电容器通过电阻放电时，回路中电势差之和为零。$V_C = Q/C$，$V_R = IR = -R \frac{dQ}{dt}$（负号是因为Q随时间减小）。
2. $$\frac{Q}{C} - R \frac{dQ}{dt} = 0 → \frac{dQ}{Q} = -\frac{dt}{RC}$$
3. 对两边积分，初始条件为 $t=0$ 时 $Q = Q_0$:
4. $$\int_{Q_0}^{Q} \frac{dQ}{Q} = -\frac{1}{RC} \int_{0}^{t} dt$$
5. 计算积分结果:
6. $$\ln Q - \ln Q_0 = -\frac{t}{RC} → \ln\left(\frac{Q}{Q_0}\right) = -\frac{t}{RC}$$

*结论:* 对两边取指数，得到最终放电方程: $Q = Q_0 e^{-t/RC}$

> **考试提示:** 推导题中，务必写明初始条件并展示完整积分步骤才能获得满分。

## 常见错误

- **错误做法:** 充电计算时使用放电方程 $Q = Q_0 e^{-t/\tau}$
  - 原因: 混淆了充电和放电的函数形式
  - 正确做法: 充电使用 $Q = Q_0 (1 - e^{-t/\tau})$，该式随t增大从0趋近于 $Q_0$。
- **错误做法:** 将时间常数计算为 $R + C$ 而非 $R \times C$
  - 原因: 记错时间常数的定义，单位混淆
  - 正确做法: 时间常数 $\tau = RC$，单位为欧姆 × 法拉 = 秒，符合要求。
- **错误做法:** 假设半衰期等于时间常数
  - 原因: 混淆半衰期（减半所需时间）和时间常数（降至1/e所需时间）的定义
  - 正确做法: 使用关系 $T_{1/2} = \tau \ln 2 ≈ 0.69 \tau$ 在两个值之间转换。
- **错误做法:** 假设充放电过程中电阻两端的电压恒定
  - 原因: 将RC电路当作稳态直流电路处理
  - 正确做法: 电阻两端电压随电流变化，与电路中的瞬时电流成正比。
- **错误做法:** 忘记充电过程中电流和放电过程一样都是指数衰减
  - 原因: 只关注电荷量/电压的变化，忽略了电流
  - 正确做法: 充电和放电过程中，电流都从最大值开始指数衰减至零。

## 速查表

| 过程 | 电荷量Q | 电压V | 电流I | 时间常数 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 放电 | $Q_0 e^{-t/RC}$ | $V_0 e^{-t/RC}$ | $I_0 e^{-t/RC}$ | $\tau = RC$ |
| 充电 | $Q_0 (1 - e^{-t/RC})$ | $V_0 (1 - e^{-t/RC})$ | $I_0 e^{-t/RC}$ | $\tau = RC$ |
| 半衰期 |  |  |  | $T_{1/2} = \tau \ln 2 ≈ 0.69\tau$ |
| 核心规律 | 1τ放电: $Q ≈ 0.37Q_0$ | 1τ充电: $V ≈ 0.63V_0$ |  | 5τ后过程完成约99% |

## 下一步

掌握电容器的充放电是学习RC电路的核心，RC电路在CIE A-Level物理的交流电、电磁感应和脉冲电路等主题中都有涉及。你在这里学习的指数规律也能为你学习物理中其他常见的指数过程（如放射性衰变）做准备。现在你已经掌握了这个子主题，可以继续学习电容相关的其他主题，或者将知识拓展到含电容器的交流电路。

- [磁场](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u23-overview/)
- [磁场概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u23-magnetic-field-concepts/)
- [载流导体受到的力](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u23-force-on-current-carrying-conductor/)

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