# 电场强度

> CIE A-Level 物理 · 9702 A2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-electric-field-strength/

本子主题涵盖电场强度的定义、匀强电场和径向电场的计算，以及场强与电势梯度的关系。它是A2物理中所有静电学问题的基础概念。

**先修:** [库仑定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-coulombs-law/); [电势](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-electric-potential/)

## 学习目标

- 针对所有场构型正确定义电场强度
- 计算平行板匀强电场和点电荷径向电场的场强
- 建立电场强度与电势梯度的关系
- 将平方反比定律应用于径向电场

## 电场强度的定义

**电场强度** — 置于电场中某点的单位正试探电荷所受的力

*记法:* E

*例:* 一个1 C的试探电荷受到5 N力，因此该点的E = 5 N C⁻¹

电场强度是矢量，因此它同时具有大小和方向。E的方向与置于该点的正试探电荷所受力的方向一致。

$$E = \frac{F}{q}$$

Where $F$ is the force acting on the test charge, and $q$ is the magnitude of the test charge.

**例题:** 一个$+2.0 \times 10^{-6}$ C的试探电荷在电场中受到0.04 N的静电力。计算该点的电场强度。

1. 回忆电场强度的定义公式：
2. $$E = \frac{F}{q}$$
3. 代入力和试探电荷的已知数值：
4. $$E = \frac{0.04}{2.0 \times 10^{-6}} = 2.0 \times 10^4 \text{ N C}^{-1}$$
5. E的方向与正试探电荷所受力的方向一致。

> **考试提示:** 永远记住E是按单位正试探电荷定义的，这决定了方向约定

## 匀强电场和径向电场的场强

你需要解题的两种最常见场构型是：带电平行板之间的匀强电场，以及点电荷或带电球体周围的径向电场。

**匀强电场** — （极板边缘外）所有点的电场强度大小和方向都相同的电场

*例:* 连接到固定电势差的两个带异种电荷平行板之间的区域

$$E = \frac{V}{d}$$

Where $V$ is the potential difference between the plates, and $d$ is the perpendicular separation of the plates.

对于点源电荷周围的径向电场，我们可以从库仑定律推导出场强，得到平方反比关系：

$$E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$$

Where $Q$ is the source charge creating the field, $r$ is the distance from the source, and $\varepsilon_0$ is the permittivity of free space.

> **info**
>
> 对于带电导体球，球外的电场与位于球心的点电荷产生的电场完全相同。球内部的电场强度为零。

**例题:** 两块平行板间距为5.0 cm，板间电势差为100 V。计算板间电场强度。

1. 将板间距转换为国际单位制（米）：
2. $$d = 5.0 \text{ cm} = 0.050 \text{ m}$$
3. 使用匀强电场公式：
4. $$E = \frac{V}{d} = \frac{100}{0.050} = 2000 \text{ N C}^{-1}$$

**例题:** 计算距离$+1.0 \times 10^{-6}$ C点电荷0.1 m处的电场强度。（$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F m⁻¹）

1. 代入径向电场公式：
2. $$E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{1.0 \times 10^{-6}}{4 \pi (8.85 \times 10^{-12}) (0.1)^2} = 9.0 \times 10^5 \text{ N C}^{-1}$$

> **考试提示:** 代入公式前，务必将距离单位转换为米

*计算器:* allowed

## 作为电势梯度的场强

电场强度也可以用电势来定义。任意点电场强度的大小等于该点负电势梯度的大小。

$$E = - \frac{dV}{dr}$$

负号表示电场始终指向电势降低的方向。对于匀强电场，该式简化为我们熟悉的$E = V/d$，因为电势以恒定速率变化。

> **note**
>
> 在CIE考试中，你只需要给出电势梯度的大小来得到E；只有当题目要求方向时才需要写出负号。

**例题:** 距离点电荷2 mm处的电势为200 V，3 mm处的电势为133 V。估算该位置的电场强度。

1. 用有限差分$\Delta V/\Delta r$近似导数$dV/dr$：
2. $$\Delta V = 200 - 133 = 67 \text{ V}, \Delta r = 1 \times 10^{-3} \text{ m}$$
3. 取绝对值得到E：
4. $$E = \left| \frac{\Delta V}{\Delta r} \right| = \frac{67}{1 \times 10^{-3}} = 6.7 \times 10^4 \text{ N C}^{-1}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 在定义和公式中混淆试探电荷和源电荷
  - 原因: E是按试探电荷定义的，但径向E的公式中使用的是产生电场的源电荷
  - 正确做法: 记住：定义式$E = F/q$（q = 试探电荷），径向$E = Q/(4πε₀r²)$（Q = 源电荷）
- **错误做法:** 计算$E = V/d$时，板间距仍保留厘米单位
  - 原因: 距离的国际单位是米，因此这会得到错误的E大小
  - 正确做法: 代入任何场公式前，始终将所有距离转换为米
- **错误做法:** 假设电势V = 0的点，场强E也为0
  - 原因: 电势是标量，E是电势的梯度；电势为零不代表梯度为零
  - 正确做法: E要独立于电势计算，绝不能因为一个为零就假设另一个也为零
- **错误做法:** 对带电导体球内部的点使用径向平方反比公式
  - 原因: 导体球内部不包围净电荷，因此内部场强为零
  - 正确做法: 带电导体球内部所有点都用E = 0，只有外部点才用径向公式

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| E的定义 | $E = \frac{F}{q}$ | 单位正试探电荷受力，矢量 |
| 匀强电场（平行板） | $E = \frac{V}{d}$ | 大小和方向都恒定 |
| 径向电场（点电荷） | $E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ | 平方反比定律，$E \propto 1/r^2$ |
| 电势梯度 | $E = -\frac{dV}{dr}$ | E指向更低电势方向 |
| 带电导体球 | $E=0$ (inside), $E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ (outside) | 外部与点电荷电场相同 |

## 下一步

现在你已经掌握了电场强度，可以继续学习建立在这个基础上的相关概念了。计算E是解决电场中带电粒子运动问题的基础，这是考试中常见的长题目。它也是电容学习的基础，你会使用匀强电场关系推导平行板电容器的电容。E和电势梯度的联系也直接关联到等势面，等势面经常和场强一起考察。掌握本子主题会让所有后续静电学主题更容易理解。

- [电势](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-electric-potential/)
- [电场中带电粒子的运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-charged-particle-motion-in-e/)
- [电容](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u22-overview/)

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