# 库仑定律

> CIE A-Level 物理 · 9702 A2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-coulomb-s-law/

本模块讲解描述两个点电荷之间静电力的库仑定律。你将学习如何将该定律应用于单个和多个电荷问题，并比较静电力与万有引力。

**先修:** [电荷与电场基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-electric-charge-fields/); 力的矢量叠加

## 学习目标

- 陈述两个点电荷之间作用力的库仑定律
- 使用库仑定律计算点电荷之间的静电力
- 通过矢量叠加求多个点电荷对某一电荷的合力
- 比较静电力和万有引力

## 库仑定律的表述

**库仑定律** — 两个点电荷之间静电力的大小与两个电荷电荷量的乘积成正比，与它们中心之间距离的平方成反比。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。

*记法:* F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2}

*例:* 相距1米的两个正电荷相互排斥

平方反比关系意味着如果两个电荷之间的距离加倍，力会减小到原来的四分之一。在CIE考试计算中，常数$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$近似为$9.0 \times 10^9$ N m² C⁻²。

> **tip**
>
> 力是矢量，因此它总是同时具有大小和方向。

**例题:** 相距0.50 m的两个点电荷，电荷量分别为+$1.0 \times 10^{-6}$ C和+$2.0 \times 10^{-6}$ C，它们之间作用力的大小是多少？

1. 列出所有已知量的国际单位值：
2. $$Q_1 = 1.0 \times 10^{-6} \text{ C}, Q_2 = 2.0 \times 10^{-6} \text{ C}, r = 0.50 \text{ m}, \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9.0 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$$
3. 代入库仑定律：
4. $$F = 9.0 \times 10^9 \times \frac{(1.0 \times 10^{-6})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.50)^2}$$
5. 计算最终大小：
6. $$F = 0.072 \text{ N}$$

## 计算两个点电荷之间的作用力

电荷的符号可以判断力是吸引力还是排斥力，计算大小时可使用电荷量的绝对值。CIE考试要求所有答案使用国际单位，力的单位为牛顿。

> **note**
>
> 务必检查题目要求的是仅力的大小，还是同时需要大小和方向。

**例题:** 一个电荷量为-$3.0 \times 10^{-9}$ C的点电荷与一个电荷量为+$2.0 \times 10^{-9}$ C的点电荷相距15 cm，写出它们之间作用力的大小和性质。

1. 将距离转换为国际单位（米）：
2. $$r = 15 \text{ cm} = 0.15 \text{ m}$$
3. 使用电荷量的绝对值计算力的大小：
4. $$F = 9.0 \times 10^9 \times \frac{(3.0 \times 10^{-9})(2.0 \times 10^{-9})}{(0.15)^2} = 2.4 \times 10^{-6} \text{ N}$$
5. 判断力的性质：
6. 一个电荷带正电，另一个带负电，因此力是吸引力。

## 多个点电荷的合力

当多个电荷同时对一个电荷施加作用时，我们使用叠加原理：总合力是每个电荷单独作用时产生的力的矢量和。

**叠加原理** — 作用在一个电荷上的总力等于所有其他电荷单独计算出的各个作用力的矢量和。

**例题:** 三个电荷位于x轴上：x=0处为+2 μC，x=2 m处为+3 μC，x=3 m处为-4 μC。求x=0处+2 μC电荷受到的合力。

1. 计算+3 μC对+2 μC的作用力：
2. $$F_{32} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{(3 \times 10^{-6})(2 \times 10^{-6})}{2^2} = 1.35 \times 10^{-2} \text{ N}$$
3. 同种电荷相互排斥，因此F₃₂向左（x负方向）。
4. 计算-4 μC对+2 μC的作用力：
5. $$F_{42} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{(4 \times 10^{-6})(2 \times 10^{-6})}{3^2} = 8.0 \times 10^{-3} \text{ N}$$
6. 异种电荷相互吸引，因此F₄₂向右（x正方向）。
7. 矢量叠加（x正方向为右）：
8. $$F_{resultant} = -1.35 \times 10^{-2} + 8.0 \times 10^{-3} = -5.5 \times 10^{-3} \text{ N}$$
9. 合力大小为$5.5 \times 10^{-3}$ N，方向向左（x负方向）。

> **考试提示:** 在进行矢量叠加前，务必绘制标注清晰的电荷排布图，确认力的方向。

## 静电力与万有引力的比较

库仑定律和牛顿万有引力定律都遵循平方反比定律，但它们存在关键区别，这些区别是CIE考试的高频考点：

| 性质 | 静电力 | 万有引力 |
| --- | --- | --- |
| 取决于 | 电荷 | 质量 |
| 方向 | 可吸引可排斥 | 只有吸引力 |
| 相对强度 | 对微观粒子强得多 | 弱得多 |
| 常数 | $\varepsilon_0$ (介电常数) | $G$ (引力常数) |

**例题:** 比较相距$1.0 \times 10^{-15}$ m的两个质子之间静电排斥力和万有引力的大小。已知$m_p = 1.67 \times 10^{-27}$ kg，$e = 1.6 \times 10^{-19}$ C，$G = 6.67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻²。

1. 计算静电力：
2. $$F_e = 9.0 \times 10^9 \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{(1.0 \times 10^{-15})^2} \approx 230 \text{ N}$$
3. 计算万有引力：
4. $$F_g = 6.67 \times 10^{-11} \frac{(1.67 \times 10^{-27})^2}{(1.0 \times 10^{-15})^2} \approx 1.9 \times 10^{-34} \text{ N}$$
5. 计算比值：
6. $$\frac{F_e}{F_g} \approx 1.2 \times 10^{36}$$
7. 在这个系统中，静电力大约比万有引力强$10^{36}$倍。

## 常见错误

- **错误做法:** 代入前忘记将距离从厘米转换为米。
  - 原因: 常数$9 \times 10^9$使用国际单位，因此r必须以米为单位才能得到正确的力大小。
  - 正确做法: 始终检查所有物理量都使用国际单位：电荷单位为库仑，距离单位为米，得到的力单位就是牛顿。
- **错误做法:** 在多个电荷问题中仅对力的大小进行相加。
  - 原因: 静电力是矢量，因此计算合力时方向很重要。
  - 正确做法: 先确定每个单独力的方向，再进行矢量相加。
- **错误做法:** 使用带电球体表面之间的距离，而非球心之间的距离。
  - 原因: 均匀带电球体的作用等效于位于球心的点电荷，因此r是球心之间的距离。
  - 正确做法: 在库仑定律计算中，任何球形电荷都等效于电荷集中在球心。
- **错误做法:** 认为平方反比定律中距离加倍时力减半。
  - 原因: 平方反比意味着$F \propto 1/r^2$，因此r加倍时F变为1/4，不是1/2。
  - 正确做法: 记住平方反比关系：力与距离的平方成反比。
- **错误做法:** 因电荷符号错误混淆力的方向。
  - 原因: 处理负电荷时很容易混淆吸引和排斥。
  - 正确做法: 无论大小计算如何，始终通过确认电荷是同种还是异种来判断力的方向。

## 速查表

| 概念 | 核心公式/结论 |
| --- | --- |
| 库仑定律（大小） | $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$ |
| 近似常数值 | $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9.0 \times 10^9$ N m² C⁻² |
| 力的方向 | 同种电荷相斥，异种电荷相吸 |
| 多个电荷 | 合力 = 各个力的矢量和 |
| 平方反比规律 | 距离加倍 → 力 = 原大小的$1/4$ |
| 与万有引力对比 | 两者都遵循平方反比；静电力可排斥，强度大得多 |

## 下一步

库仑定律是CIE A-Level物理电场部分所有后续主题的基础，包括电场强度、电势和电容。掌握这里的平方反比关系和静电力矢量叠加，会让复杂问题的求解简单很多，因为几乎所有其他电场概念都直接源自这个核心定律。接下来你将学习点电荷电场强度的计算，这依赖于本模块中讲解的完全相同的平方反比关系，因此掌握库仑定律对考试成功至关重要。

- [电场强度](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-electric-field-strength/)
- [电势](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-electric-potential/)
- [电场中带电粒子的运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-charged-particle-motion-in-e/)

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