# 电场中带电粒子的运动

> CIE A-Level 物理 · 9702 A2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-charged-particle-motion-in-e/

本子主题讲解带电粒子在匀强电场中的运动规律，涵盖平行于电场方向的加速运动，以及垂直进入电场时的类抛体偏转，这是考试中粒子物理类常见考题的核心概念。

**先修:** [匀强电场](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-uniform-electric-fields/); [抛体运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u05-projectile-motion/)

## 学习目标

- 计算匀强电场中带电粒子的加速度
- 分析沿垂直于电场线方向进入电场的带电粒子的类抛体运动
- 计算带电粒子穿过匀强电场后的横向偏转量和末速度
- 运用功能原理求被加速带电粒子的速率

## 匀强电场中的力和加速度

**带电粒子受到的电场力** — 匀强电场中点电荷所受作用力的大小等于电荷量与电场强度的乘积。正电荷受力方向与$E$平行，负电荷受力方向与$E$反向平行。

*记法:* $F = qE$

*例:* 电子（电荷量$-e$）受到的电场力方向与电场方向相反。

根据牛顿第二定律，恒定的电场力产生恒定的加速度。整理$F=ma$可得加速度的标准表达式：

$$a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$$

**例题:** 一个质子（质量$1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$，电荷量$+1.60 \times 10^{-19} \text{ C}$）沿运动方向平行进入强度为$250 \text{ N C}^{-1}$的匀强电场，计算它的加速度。

1. 写出带电粒子加速度的公式：

   $$a = \frac{qE}{m}$$
2. 代入已知数值：

   $$a = \frac{(1.60 \times 10^{-19})(250)}{1.67 \times 10^{-27}}$$
3. 计算最终结果：

   $$a \approx 2.4 \times 10^{10} \text{ m s}^{-2}$$

> **考试提示:** 求解加速度方向时，一定要检查电荷的正负；负电荷的加速度方向与电场方向相反。

*计算器:* allowed

## 平行于电场方向的运动

当带电粒子沿平行电场方向运动时，做匀加速直线运动，和匀重力场中竖直下落的物体运动性质完全相同，我们使用标准的匀加速运动学公式：

1. $v = u + at$
2. $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$
3. $v^2 = u^2 + 2 a s$

> **info**
>
> 对于从静止开始经过电势差$V$加速的粒子，可以使用功能关系捷径：电场做功等于动能增加量：$qV = \frac{1}{2}mv^2$，因此$v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$，该方法不需要求解时间或位移。

**例题:** 一个电子从静止开始经过1200V的电势差加速，求它的末速率（$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$，$e = 1.60 \times 10^{-19} \text{ C}$）。

1. 运用功能原理：

   $$qV = \frac{1}{2} m_e v^2$$
2. 整理得$v$的表达式：

   $$v = \sqrt{\frac{2qV}{m_e}}$$
3. 代入数值（$q=e$）：

   $$v = \sqrt{\frac{2(1.60 \times 10^{-19})(1200)}{9.11 \times 10^{-31}}} \approx \sqrt{4.21 \times 10^{14}}$$
4. 末速率为：

   $$v \approx 2.1 \times 10^7 \text{ m s}^{-1}$$

*计算器:* allowed

## 垂直于电场方向的运动

当带电粒子以垂直于电场的初速度进入匀强电场时，运动规律和重力作用下的抛体运动完全相同：我们可以将运动分解为两个独立分量：沿原方向的匀速运动，和垂直原方向的匀加速运动。

**横向偏转量** — 带电粒子穿过电场区域后，偏离原直线路径的总垂直位移。

*记法:* $y$

**例题:** 一个电子以$2.0 \times 10^7 \text{ m s}^{-1}$的水平速度进入长度为0.04m的平行偏转板之间，竖直方向电场强度为$1200 \text{ N C}^{-1}$，计算电子在偏转板间的竖直偏转量（$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$，$e = 1.60 \times 10^{-19} \text{ C}$）。

1. 计算电子在偏转板间的运动时间（水平速度恒定）：

   $$t = \frac{L}{u_x} = \frac{0.04}{2.0 \times 10^7} = 2.0 \times 10^{-9} \text{ s}$$
2. 求竖直方向加速度：

   $$a = \frac{eE}{m_e} = \frac{(1.60 \times 10^{-19})(1200)}{9.11 \times 10^{-31}} \approx 2.1 \times 10^{14} \text{ m s}^{-2}$$
3. 运用运动学公式（初始$u_y = 0$）：

   $$y = \frac{1}{2} a t^2$$
4. 计算偏转量：

   $$y = 0.5 (2.1 \times 10^{14}) (2.0 \times 10^{-9})^2 = 4.2 \times 10^{-4} \text{ m} = 0.42 \text{ mm}$$

> **考试提示:** 原运动方向的速度永远不变，因为对于垂直的匀强电场，该方向不受力。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记负电荷会反转加速度/力的方向
  - 原因: 大小计算正确，但方向错误，会导致坐标问题中偏转量的符号错误
  - 正确做法: 先建立坐标系，再在写力/加速度项时检查电荷的正负
- **错误做法:** 计算电场中电子的加速度时额外计入重力
  - 原因: 对于微小带电粒子，重力比电场力弱多个数量级，因此没有可测量的影响
  - 正确做法: 电子和其他亚原子粒子都忽略重力，只有题目明确要求时才计入
- **错误做法:** 认为匀强电场中的加速度是变化的
  - 原因: 匀强电场产生恒定的力，因此加速度是恒定的
  - 正确做法: 使用标准的匀加速运动学公式，不要使用变力关系
- **错误做法:** 计算偏转量时额外添加非零的初始横向速度项
  - 原因: 粒子垂直进入电场时，横向初始速度为零
  - 正确做法: 设$u_y = 0$，所以$y = \frac{1}{2} a t^2$是计算偏转量的正确公式

## 速查表

| 物理量 | 公式 |
| --- | --- |
| 带电粒子的加速度 | $a = \frac{qE}{m}$ |
| 电势差$V$加速得到的速率 | $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ |
| 穿过长度为$L$的偏转板的时间 | $t = \frac{L}{u_x}$ |
| 横向偏转量（垂直进入） | $y = \frac{1}{2} \frac{qE}{m} \left(\frac{L}{u_x}\right)^2$ |
| 末横向速度 | $v_y = \frac{qE L}{m u_x}$ |

## 下一步

理解匀强电场中带电粒子的运动是解释阴极射线管、粒子加速器、质谱仪中粒子偏转的基础，这些都是CIE考试中常见的出题情境。本子主题建立在你AS级别的抛体运动和匀强电场知识之上，直接衔接磁场中带电粒子的运动，其中正交的E和B组合场可用于筛选粒子速率。掌握这里的运动分量分解运动学，将帮助你解决后续章节更复杂的组合场问题，也巩固了牛顿力学在电磁学中的应用。

- [电势](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u21-electric-potential/)
- [电容](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u22-overview/)
- [电容概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u22-capacitance-concepts/)

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