# 匀加速运动方程

> CIE A-Level 物理 · 9702 (2022-2024)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-uniformly-accelerated-motion-equations/

本模块讲解恒定匀加速度一维运动的运动学（SUVAT）方程的推导与应用，你将学习如何解决CIE A-Level物理中包括自由落体和刹车距离在内的常见问题。

**先修:** [基本运动学量（速度、加速度、位移）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-basic-kinematic-quantities/); [直线运动的运动图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-motion-graphs/)

## 学习目标

- 从基本原理推导五个匀加速运动方程
- 正确识别已知/未知量，选择正确的SUVAT方程
- 解决恒定加速度的一维运动问题
- 将方程应用于重力作用下的自由落体运动

## 定义与基本原理推导

匀加速运动的定义是：速度变化率随时间保持恒定的运动，即整个运动过程中加速度$a$的大小和方向都不改变。

**匀加速运动** — 整个运动过程中，加速度的大小和方向都保持恒定的一维运动

*记法:* $a = \text{constant}$

*例:* 忽略空气阻力时，靠近地球表面下落的物体

**推导:** 从核心定义推导两个基础SUVAT方程

*起点:* 平均加速度和平均速度的定义

1. 从时间间隔$t$内的平均加速度定义开始：
2. $$a = \frac{v - u}{t}$$
3. 整理得到第一个基础方程：
4. $$v = u + at$$
5. 恒定加速度下的平均速度等于初速度和末速度的平均值：
6. $$v_{\text{avg}} = \frac{u + v}{2} = \frac{s}{t}$$
7. 整理得到位移的第二个基础方程：
8. $$s = \left( \frac{u + v}{2} \right) t$$

*结论:* 这两个基础方程可以组合推导得到剩下三个SUVAT方程。

**例题:** 从两个基础方程推导位移方程 $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$

1. 将$v = u + at$代入 $s = \left( \frac{u + v}{2} \right) t$：
2. $$s = \left( \frac{u + (u + at)}{2} \right) t$$
3. 化简括号内的表达式：
4. $$s = \left( \frac{2u + at}{2} \right) t = \left( u + \frac{1}{2} a t \right) t$$
5. 展开得到最终推导的方程：
6. $$s = ut + \frac{1}{2} a t^2$$

> **tip**
>
> 如果考题要求推导，请务必写出完整推导步骤，每一个中间步骤都会给分。

## SUVAT方程：总结与选择

> **SUVAT记忆法**
>
> SUVAT的每个字母对应一个变量，每个完整方程恰好省略一个变量，因此你可以在已知三个量的情况下求解未知量。

| 变量 | 物理量名称 | SI单位 |
| --- | --- | --- |
| u | 初速度 | m s⁻¹ |
| v | 末速度 | m s⁻¹ |
| a | 恒定加速度 | m s⁻² |
| s | 净位移 | m |
| t | 时间间隔 | s |

1. Omitting *s*: $v = u + at$
2. Omitting *a*: $s = \left(\frac{u+v}{2}\right) t$
3. Omitting *v*: $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$
4. Omitting *t*: $v^2 = u^2 + 2 a s$
5. Omitting *u*: $s = vt - \frac{1}{2} a t^2$

**例题:** 一名骑行者从静止开始以$1.5 \text{ m s}^{-2}$的加速度匀加速运动了6.0秒，求骑行者的位移。

1. 列出已知和未知变量：$u = 0 \text{ m s}^{-1}$（从静止开始），$a = 1.5 \text{ m s}^{-2}$，$t = 6.0 \text{ s}$，未知量为$s$。我们需要省略$v$的方程。
2. 将数值代入 $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$：
3. $$s = (0)(6.0) + \frac{1}{2} (1.5) (6.0)^2$$
4. 计算最终结果：
5. $$s = 27 \text{ m}$$

> **exam_tip**
>
> 选择方程前请务必先列出已知和未知变量，这能避免选错方程。

## 一般直线运动的应用

SUVAT方程可应用于任何恒定加速度的一维运动，最常见的问题包括车辆刹车距离、火车和短跑运动员的加速，以及沿斜面的运动。

**例题:** 一辆汽车以$20 \text{ m s}^{-1}$的速度行驶，踩刹车后产生$4.0 \text{ m s}^{-2}$的匀减速，计算刹车距离。

1. 定义初始运动方向为正方向。变量：$u = 20 \text{ m s}^{-1}$，$v = 0 \text{ m s}^{-1}$（汽车停止），$a = -4.0 \text{ m s}^{-2}$（减速与运动方向相反，因此为负），未知量为$s$。
2. 已知u、v、a，求s，因此使用省略$t$的方程：$v^2 = u^2 + 2 a s$
3. 整理出s并代入数值：
4. $$s = \frac{v^2 - u^2}{2 a} = \frac{0^2 - (20)^2}{2 (-4.0)} = \frac{-400}{-8}$$
5. 最终结果：
6. $$s = 50 \text{ m}$$

**概念自测**

测试你对符号约定的理解

1. 如果在上题中错误地使用$a = +4.0 \text{ m s}^{-2}$，你会得到什么结果？

   - +50 m
   - -50 m
   - 25 m
   - 100 m

   *答案:* -50 m

   *解析:* 得到不符合物理规律的负位移说明你加速度的符号错了，开始计算前请务必确认符号约定。

## 自由落体运动的应用

在CIE A-Level物理中，靠近地球表面，所有仅受重力下落的物体（忽略空气阻力）具有恒定的向下加速度，称为重力加速度，大小为 $g = 9.81 \text{ m s}^{-2}$。

**自由落体** — 仅受重力作用的物体运动，加速度为恒定的$g$，忽略空气阻力

**例题:** 一个球从地面以$14.7 \text{ m s}^{-1}$的初速度竖直上抛，求到达的最大高度。

1. 取向上为正方向。变量：$u = 14.7 \text{ m s}^{-1}$，$v = 0 \text{ m s}^{-1}$（最大高度处速度为零），$a = -g = -9.81 \text{ m s}^{-2}$（重力向下），未知量为$s$（高度）。
2. 使用省略$t$的方程：$v^2 = u^2 + 2 a s$
3. 整理并代入数值：
4. $$s = \frac{0^2 - (14.7)^2}{2 (-9.81)} = \frac{-216.09}{-19.62}$$
5. 最终结果（保留3位有效数字）：
6. $$s = 11.0 \text{ m}$$

> **tip**
>
> 如果题目指定，CIE接受$g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$或$10 \text{ m s}^{-2}$，但默认情况下始终使用9.81。

## 常见错误

- **错误做法:** 对减速或逆重力向上运动使用正加速度
  - 原因: 加速度是矢量，符号取决于你定义的正方向
  - 正确做法: 始终先定义正方向，然后为所有矢量量赋予正确符号
- **错误做法:** 加速度不恒定时使用SUVAT方程
  - 原因: SUVAT仅对匀（恒定）加速度有效，加速度变化时会给出错误结果
  - 正确做法: 使用SUVAT前确认加速度恒定；非匀加速度使用积分或图像面积法求解
- **错误做法:** 物体改变方向时，混淆净位移和总路程
  - 原因: SUVAT计算的是相对于起点的净位移，不是整个运动过程的总路程
  - 正确做法: 将运动拆分为方向不变的多个段，计算每段的路程，再相加得到总路程
- **错误做法:** 竖直抛体运动中认为最大高度处加速度为零
  - 原因: 最大高度处速度为零，但重力仍然作用在物体上
  - 正确做法: 即使在最大高度处，也始终使用$a = -g$（向上为正方向时）
- **错误做法:** 提前将中间结果四舍五入到3位有效数字
  - 原因: 提前四舍五入会导致最终答案出现可避免的舍入误差
  - 正确做法: 中间步骤保留额外的有效数字，仅对最终答案四舍五入

## 速查表

| 方程 | 省略的变量 |
| --- | --- |
| $v = u + at$ | s |
| $s = \frac{(u+v)}{2}t$ | a |
| $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$ | v |
| $v^2 = u^2 + 2 a s$ | t |
| $s = vt - \frac{1}{2} a t^2$ | u |
| $g = 9.81 \text{ m s}^{-2}$（自由落体） |  |

## 下一步

现在你已经掌握了匀加速运动（SUVAT）方程的推导和应用，你已经准备好将其应用于更复杂的运动学问题。接下来最常见的应用是抛体运动，你需要将运动分解为独立的水平和竖直分量：水平运动加速度为零，因此速度恒定；竖直运动具有重力产生的恒定加速度，因此你可以直接在这里应用SUVAT方程。你也可以继续学习牛顿运动定律，在牛顿定律中，你先根据物体受到的合外力计算加速度，再使用SUVAT方程求未知的位移、速度或时间量。对SUVAT的扎实理解是A-Level物理几乎所有力学主题的基础。

- [抛体运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-projectile-motion/)
- [自由落体](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-free-fall/)
- [动力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-overview/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-uniformly-accelerated-motion-equations/