# 抛体运动

> 物理 · CIE A-Level
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-projectile-motion/

本模块讲解如何将运动分解为相互独立的水平和竖直分量，分析恒定重力下的二维抛体运动。你将学习计算抛体的关键参数，并解释实际运动与理想运动的偏差。

**先修:** [恒定加速度的运动学方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-constant-acceleration/); [将矢量分解为垂直分量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-vectors/)

## 学习目标

- 将抛体速度分解为相互独立的水平分量和竖直分量
- 对抛体运动的各分量应用运动学方程
- 计算常见抛体场景的飞行时间、最大高度和射程
- 描述空气阻力对理想抛体运动的影响

## 独立运动原理

抛体运动是物体获得初速度后，仅在恒定重力作用下发生的二维运动（理想运动中忽略空气阻力）。核心简化原理是：运动相互垂直的分量彼此独立，互不影响。

**运动独立性原理** — 加速度、速度和位移的水平分量与竖直分量互不影响，可以分别分析再合成得到完整运动。

*例:* 理想抛体的水平加速度始终为0，这不影响竖直加速度——竖直加速度始终等于向下的$g$。

**例题:** 一个抛体以初速度$20 \text{ m s}^{-1}$、与水平方向成$30^\circ$角发射。取向上为正方向，将初速度分解为水平分量和竖直分量。

1. 回忆与水平方向成$\theta$角的矢量分解公式：
2. $$u_x = u \cos\theta, \quad u_y = u \sin\theta$$
3. 代入$u = 20 \, \text{m s}^{-1}$和$\theta = 30^\circ$：
4. $$u_x = 20 \cos 30^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 17.3 \, \text{m s}^{-1}$$
5. $$u_y = 20 \sin 30^\circ = 20 \times 0.5 = 10.0 \, \text{m s}^{-1}$$
6. 最终答案：初速度的水平分量为$17.3 \, \text{m s}^{-1}$，竖直分量为向上$10.0 \, \text{m s}^{-1}$。

> **考试提示:** 开始计算前一定要说明竖直运动的符号约定。CIE考官会对可避免的符号错误扣分。

## 水平地面发射的计算

对于从同一竖直高度发射并落地的抛体（水平地面），我们可以对每个分量应用运动学方程，求出飞行时间、最大高度和射程。竖直运动是匀加速运动，水平运动是匀速运动。

**例题:** 一个球从地面被踢出，初速度$15 \, \text{m s}^{-1}$，与水平方向成$40^\circ$角。求(a)飞行时间，(b)最大高度，(c)射程。取$g = 9.8 \, \text{m s}^{-2}$，向上为正方向。

1. 首先分解初速度：
2. $$u_x = 15 \cos 40^\circ = 11.49 \, \text{m s}^{-1}, \quad u_y = 15 \sin 40^\circ = 9.64 \, \text{m s}^{-1}$$
3. Part (a): 飞行时间对应竖直位移$s_y = 0$，代入公式$s = ut + \frac{1}{2} a t^2$：
4. $$0 = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = t\left(u_y - \frac{1}{2} g t\right)$$
5. 解为$t=0$（发射时刻）和$t = \frac{2u_y}{g}$：
6. $$t = \frac{2 \times 9.64}{9.8} = 1.97 \, \text{s}$$
7. Part (b): 最大高度对应竖直速度$v_y = 0$，代入公式$v^2 = u^2 + 2as$：
8. $$0 = u_y^2 - 2gH \implies H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{(9.64)^2}{2 \times 9.8} = 4.74 \, \text{m}$$
9. Part (c): 射程是水平位移，水平速度恒定：
10. $$R = u_x t = 11.49 \times 1.97 = 22.6 \, \text{m}$$

> **info**
>
> 水平地面上的理想抛体运动，投射角为$45^\circ$时总能达到最大射程。

## 从一定高度发射的抛体

CIE考试中常见的题型是抛体从高于落地点的位置发射，例如从悬崖上抛出球。独立分量原理仍然适用，但最终竖直位移不为零。

**例题:** 一块石头从50m高的悬崖顶部水平抛出，初速度$8.0 \, \text{m s}^{-1}$。求石头落地点距离悬崖底部的水平距离。取$g = 9.8 \, \text{m s}^{-2}$。

1. 因为石头水平抛出，所以初竖直速度$u_y = 0$。取向下为正方向简化符号：初始竖直位移$s_y = 50 \, \text{m}$，$a = g = 9.8 \, \text{m s}^{-2}$。
2. 首先利用竖直运动计算飞行时间，代入公式$s = ut + \frac{1}{2} a t^2$：
3. $$50 = (0)t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$$
4. $$t^2 = \frac{100}{9.8} = 10.20 \implies t = 3.19 \, \text{s}$$
5. 水平速度恒定，因此计算水平射程：
6. $$R = u_x t = 8.0 \times 3.19 = 25.5 \, \text{m}$$

> **考试提示:** 如果你取向上为正方向，记住当落地点低于发射点时，最终竖直位移为负。这里非常容易出现符号错误。

## 空气阻力的影响

上述所有计算都假设是无空气阻力的理想抛体运动。实际场景中，空气阻力会产生与运动方向相反的阻力，改变轨迹：

- 达到的最大高度低于理想值
- 总射程比理想预测更短
- 轨迹不再对称：下降段比上升段更陡
- 水平速度不恒定，受阻力减速影响随时间减小

**概念自测**

测试你的理解：

1. 下列哪个陈述正确描述了空气阻力对从水平地面发射的理想抛体的影响？

   - 最大高度大于理想值
   - 射程小于理想值
   - 水平速度在整个飞行过程中保持恒定
   - 轨迹保持对称

   *答案:* 射程小于理想值

   *解析:* 空气阻力对抛体做负功，在每个位置都降低抛体的速度。这会导致射程更短、最大高度更低。

## 常见错误

- **错误做法:** 将水平运动视为匀加速运动，对水平分量应用匀加速运动学公式。
  - 原因: 理想抛体仅受重力，而重力只沿竖直方向。水平加速度为零。
  - 正确做法: 水平运动始终按匀速处理：水平位移 = 水平速度 × 飞行时间。
- **错误做法:** 当定义向上为竖直运动正方向时，取$a = +g$。
  - 原因: 重力向下，因此在该约定下符号为负。
  - 正确做法: 每次解决抛体问题前先写下符号约定，避免这类错误。
- **错误做法:** 对从一定高度发射的抛体使用射程公式$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$。
  - 原因: 该公式仅适用于发射和落地点在同一竖直高度的抛体。
  - 正确做法: 始终从基本原理出发：先利用竖直运动求解时间，再通过水平速度×时间计算射程。
- **错误做法:** 尝试从水平运动而非竖直运动计算飞行时间。
  - 原因: 飞行时间由抛体竖直运动到落地点所需的时间决定，和水平运动无关。
  - 正确做法: 始终先利用运动的竖直分量求解时间，再用时间计算水平射程。
- **错误做法:** 即使是从一定高度发射的抛体，也假设最大射程总是出现在45°投射角。
  - 原因: 45°规则仅适用于发射和着陆同高的情况。
  - 正确做法: 从一定高度发射时，最大射程出现在小于45°的角度。题目要求时始终从基本原理验证。

## 速查表

| 物理量 | 公式（理想运动，向上为正） | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 初速度水平分量 | $u_x = u \cos\theta$ | 理想运动中恒定 |
| 初速度竖直分量 | $u_y = u \sin\theta$ | 加速度为$-g$ |
| 飞行时间（水平地面） | $t = \frac{2u_y}{g}$ | 发射/着陆同高 |
| 最大高度 | $H = \frac{u_y^2}{2g}$ | 最大高度处$v_y = 0$ |
| 射程（水平地面） | $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ | 45°时最大 |
| 一般情况 | $s_y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ | 始终可从基本原理推出 |

## 下一步

抛体运动是A-Level物理中二维运动的基础例子，将运动分解为独立垂直分量的原理在整个课程中反复使用。该方法可推广到更复杂的主题，包括圆周运动、碰撞，以及均匀电场中带电粒子的运动——这些场景中恒力仅沿一维作用。抛体运动问题经常出现在CIE 9702试卷的选择题和结构化答题部分，因此掌握该方法是稳定获得高分的关键。

- [动力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-overview/)
- [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-newton-s-laws-of-motion/)
- [线动量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-linear-momentum/)

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