# 运动的图像表示

> A-Level 物理 · CIE 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-graphical-representation-of-motion/

本子主题讲解如何解读和使用位移-时间图像、速度-时间图像来解决运动学问题。你将学习对匀速和非匀速运动，如何通过图像的斜率和面积计算核心运动物理量。

**先修:** [基础运动学物理量（位移、速度、加速度）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-basic-kinematic-quantities/); 计算斜率和曲线下面积

## 学习目标

- 解读运动的位移-时间和速度-时间图像
- 通过计算斜率从图像得到速度/加速度
- 计算速度-时间图像下的面积得到位移
- 用图像法解决匀速和非匀速运动问题

## 位移-时间（s-t）图像

**位移-时间图像** — 横坐标（x轴）为时间，纵坐标（y轴）为位移的图像。任意一点的斜率等于物体在该点的瞬时速度。

*例:* 斜率为正的直线代表匀速运动

对于任意s-t图像，两点之间的斜率给出该时间间隔内的平均速度。水平线的斜率为零，因此速度为零（物体静止）。直线意味着斜率恒定，因此速度恒定。

**例题:** 一个物体沿直线运动，它在5个时间点的位移为：(0s, 0m), (2s, 10m), (4s, 20m), (6s, 20m), (8s, 0m)。画出s-t图像并求出每个区间的速度。

1. 1. 用直线段连接每个区间的点。第一个区间0s到2s：使用$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$
2. $$v = \frac{10 - 0}{2 - 0} = 5 \text{ m s}^{-1}$$
3. 2. 区间2s到4s:
4. $$v = \frac{20 - 10}{4 - 2} = 5 \text{ m s}^{-1}$$
5. 3. 区间4s到6s: 位移恒定
6. $$v = \frac{20 - 20}{6 - 4} = 0 \text{ m s}^{-1}$$
7. 4. 区间6s到8s: 物体回到原点
8. $$v = \frac{0 - 20}{8 - 6} = -10 \text{ m s}^{-1}$$

> **info**
>
> s-t图像中斜率为负总是意味着物体沿负方向运动，朝着起点返回。

## 速度-时间（v-t）图像

**速度-时间图像** — 横坐标（x轴）为时间，纵坐标（y轴）为速度的图像。斜率等于加速度，图像与x轴之间的总面积等于总位移。

*例:* 过原点的直线代表从静止开始的匀加速运动

v-t图像上两点之间的斜率给出该区间的平均加速度。水平线的斜率为零，因此加速度为零（速度恒定）。直线意味着加速度恒定。

x轴上方的面积对应正位移，下方的面积对应负位移。要得到总路程，需要对所有面积取绝对值后相加。

**例题:** 一辆汽车从静止开始以$2 \text{ m s}^{-2}$加速5秒，之后匀速运动10秒，再经过5秒减速到静止。求总位移。

1. 1. 计算加速后的最大速度:
2. $$v = u + at = 0 + (2)(5) = 10 \text{ m s}^{-1}$$
3. 2. v-t图像是一个梯形，梯形的面积就是位移:
4. $$s = \frac{1}{2}(a + b)h = \frac{1}{2}(20 + 10) \times 10 = 150 \text{ m}$$
5. 3. 另一种方法是将图形拆分为三个部分，结果一致:
6. $$(\frac{1}{2} \times 5 \times 10) + (10 \times 10) + (\frac{1}{2} \times 5 \times 10) = 150 \text{ m}$$

> **考试提示:** 务必检查题目问的是位移还是路程。计算路程时，无论面积符号，全部相加。

## 非匀速运动的图像

当速度或加速度不恒定时，图像是曲线而非直线，但斜率和面积的核心规则仍然适用。

对于曲线形的s-t图像，曲线上某点切线的斜率就是该点的瞬时速度。斜率增大意味着速度增大（加速），斜率减小意味着减速。

对于曲线形的v-t图像，切线斜率就是瞬时加速度。考试中估算曲线下面积可以通过数方格的方法。

**例题:** 一辆加速行驶汽车的s-t曲线在$t=3\text{s}$处的切线经过$(1\text{s}, 2\text{m})$和$(5\text{s}, 20\text{m})$。求$t=3\text{s}$处的瞬时速度。

1. 1. 瞬时速度等于切线的斜率。计算位移变化量和时间变化量:
2. $$\Delta s = 20 - 2 = 18 \text{ m}, \Delta t = 5 - 1 = 4 \text{ s}$$
3. 2. 计算斜率:
4. $$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{18}{4} = 4.5 \text{ m s}^{-1}$$

> **note**
>
> 数方格时，首先将x轴单位值乘以y轴单位值得到单个方格代表的物理量大小，再乘以方格总数即可。

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆斜率的物理意义：将v-t图像的斜率当作速度
  - 原因: 每种图像的斜率对应不同的物理意义，混淆会导致错误答案
  - 正确做法: 记住：s-t图像的斜率是速度，v-t图像的斜率是加速度
- **错误做法:** 计算v-t图像的总位移时将负面积当作正面积处理
  - 原因: 负速度意味着物体沿相反方向运动，因此该区域的位移为负
  - 正确做法: 计算位移时，面积带符号相加；计算路程时，取绝对值相加
- **错误做法:** 计算瞬时值时，计算整条曲线的斜率而非切线斜率
  - 原因: 非匀速运动中，速度/加速度是变化的，因此平均梯度不等于瞬时值
  - 正确做法: 在要求的时间点处作曲线的切线，仅计算切线的斜率
- **错误做法:** 解读运动图像时忽略y轴截距
  - 原因: At $t=0$, the y-value gives the initial displacement (s-t) or initial velocity (v-t), which changes the final result
  - 正确做法: Always check the y-intercept first to account for initial conditions of motion
- **错误做法:** 解读运动图像时忽略y轴截距
  - 原因: 在$t=0$时，y值给出初始位移（s-t图像）或初始速度（v-t图像），会影响最终结果
  - 正确做法: 始终先检查y轴截距，以考虑运动的初始条件

## 速查表

| 图像类型 | 斜率的物理意义 | 图像下面积的物理意义 |
| --- | --- | --- |
| 位移-时间（s-t） | 速度 | 无 |
| 速度-时间（v-t） | 加速度 | 位移 |
| 直线 | 斜率对应的物理量恒定 | - |
| 水平线 | 斜率对应的物理量为零 | - |
| 曲线 | 切线斜率 = 瞬时值 | 数方格估算面积 |

## 下一步

运动的图像表示是解决更复杂运动学问题（包括抛体运动和连接体系统）的基础。理解斜率、面积与物理量的关系也能为你学习牛顿运动定律等主题做好准备，在那些主题中你会分析力-时间和力-位移图像。掌握本子主题对于CIE 9702的选择题和结构化问答题都至关重要，因为它经常和其他运动学或动力学考点结合出现。接下来你将学习匀加速运动的运动学公式，这些公式和你在此学到的图像法直接相关。

- [抛体运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-projectile-motion/)
- [匀加速运动方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-uniformly-accelerated-motion-equations/)
- [自由落体](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-free-fall/)

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