# 自由落体

> 物理 · CIE A-Level
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-free-fall/

本子主题涵盖恒定重力加速度下的物体运动，包括自由下落物体和竖直抛体运动。你将学习如何求解计算题，并在考试题目中分析自由落体运动。

**先修:** [恒定加速度运动学公式](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-constant-acceleration/)

## 学习目标

- 定义自由落体并说明其核心假设
- 运用运动学公式求解自由下落和抛射物体的自由落体问题
- 计算竖直上抛物体的最大高度和飞行时间
- 描述通过自由落体测定重力加速度$g$的实验

## 自由落体的核心定义与性质

**自由落体** — 自由落体描述的是仅受重力作用的物体的任何运动。在所有 CIE 题目中，除非另有明确说明，否则都假设空气阻力可忽略不计。

*例:* 从悬崖静止下落的球在撞击地面前一直处于自由落体状态。

地球表面附近，无论质量如何，所有自由落体物体都具有相同的恒定加速度，$g$。在所有 CIE A-Level 物理考试中，除非题目指定$10 \text{ m s}^{-2}$，否则你应使用$g = 9.81 \text{ m s}^{-2}$。

> **tip**
>
> 一个常见误解是重物体下落更快。在自由落体中，所有质量的物体加速度完全相同！

**概念自测**

检查你的理解

1. 跳伞者跳出飞机后达到恒定终端速度，她在终端速度时是否处于自由落体状态？

   - 是，因为她正在向下坠落
   - 否，因为空气阻力与重力平衡，因此重力不是唯一的作用力

   *答案:* 否，因为空气阻力与重力平衡，因此重力不是唯一的作用力

   *解析:* 正确！自由落体仅在重力是作用在物体上的唯一力时发生。在终端速度下，空气阻力抵消了重力，因此这不是自由落体。

## 解题：静止释放的物体

对于下落物体，我们使用标准恒定加速度运动学公式，代入$a = g$并遵循一致的符号约定（为简便起见，本文中我们取向下为正）。

**例题:** 一个球从45 m高的楼顶静止释放，计算其撞击地面的时间和撞击时的末速度，取$g = 9.81 \text{ m s}^{-2}$。

1. 步骤 1：列出所有已知量
2. $$u = 0 \\text{m s}^{-1}, \\ s = 45 \\text{m}, \\ a = g = 9.81 \\text{m s}^{-2}, \\ t = ?, \\ v = ?$$
3. 步骤 2：使用 $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$。由于 $u=0$，公式简化为：
4. $$s = \frac{1}{2} g t^2 \implies t = \sqrt{\frac{2s}{g}}$$
5. 步骤 3：代入数值求 t：
6. $$t = \sqrt{\frac{2 \times 45}{9.81}} = \sqrt{9.17} \approx 3.03 \text{ s}$$
7. 步骤 4：使用 $v = u + at$ 求末速度：
8. $$v = 0 + (9.81)(3.03) \approx 29.7 \text{ m s}^{-1}$$

> **tip**
>
> 选择公式前一定要先列出已知量，这可以避免你为给定变量选错公式浪费时间。

## 竖直抛射：上抛物体

当物体被竖直向上抛出时，它仍然以 $g = 9.81 \text{ m s}^{-2}$ 向下加速。在最大高度处，物体的竖直速度为零，之后会向下加速落回地面。

**例题:** 一个球从地面以 $15 \text{ m s}^{-1}$ 的初速度竖直上抛，计算 (a) 达到的最大高度，(b) 返回地面的总时间。

1. 步骤 1：取向上为正，列出已知量：
2. $$u = 15 \\text{m s}^{-1}, \\ a = -g = -9.81 \\text{m s}^{-2}, \\ v = 0 \\text{m s}^{-1} \text{ (at max height)}$$
3. 步骤 2：对于最大高度，使用 $v^2 = u^2 + 2as$：
4. $$0 = (15)^2 + 2(-9.81)s \implies 19.62s = 225 \implies s \approx 11.5 \text{ m}$$
5. 步骤 3：对于总时间，返回地面时位移是 $s=0$。使用 $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$：
6. $$0 = 15t + \frac{1}{2}(-9.81)t^2 = t(15 - 4.905t)$$
7. 解为 $t=0$（初始抛出时刻）和：
8. $$t = \frac{15}{4.905} \approx 3.06 \text{ s}$$

注意，当起点和终点高度相同时，到达最大高度的时间是总飞行时间的一半，返回起点的速率等于初始抛射速率（方向相反）。

## $g$ 的实验测量

CIE 经常要求描述测量重力加速度的自由落体实验。最常用的方法使用电磁铁、计时器和光电门：

1. 钢球被电磁铁固定在光电门上方已知高度 $h$ 处。
2. 电磁铁断电后，钢球开始下落，计时器启动。
3. 钢球经过光电门时计时器停止，得到下落时间 $t$。
4. 绘制 $h$ 对 $t^2$ 的图像。从 $h = \frac{1}{2} g t^2$ 可知，斜率为 $\frac{g}{2}$，因此 $g = 2 \times \text{斜率}$。

> **info**
>
> 其他可行方法包括下落重物的打点纸带法、频闪摄影法。所有方法都通过作图，从线性图的斜率得到 $g$。

## 常见错误

- **错误做法:** 取向上为正时忘记将g设为负值
  - 原因: 加速度始终向下，符号错误会导致高度和时间的计算结果错误
  - 正确做法: 将加速度代入运动学公式前，一定要确认你的符号约定
- **错误做法:** 假设竖直上抛最大高度处位移为零
  - 原因: 最大高度处只有速度为零，位移不为零，等于最大高度
  - 正确做法: 记住：最大高度处 $v = 0$，除非起点和终点相同，否则 $s \neq 0$
- **错误做法:** 题目未指定时使用 $g = 10 \text{ m s}^{-2}$
  - 原因: 当题目要求使用9.81时，考生使用错误g值会被 CIE 考官扣分
  - 正确做法: 除非题目明确要求使用10，否则始终使用 $g = 9.81 \text{ m s}^{-2}$
- **错误做法:** 计算从悬崖上抛的小球时，只算到最大高度就停止
  - 原因: 你需要加上从最大高度下落到悬崖底部的时间，才能得到总飞行时间
  - 正确做法: 一定要检查起点和终点位置，确认你计算的是整个运动的位移
- **错误做法:** 题目说明空气阻力不可忽略时仍然忽略它
  - 原因: 自由落体假设仅在空气阻力可忽略时成立，如果空气阻力不可忽略，加速度就不是恒定的
  - 正确做法: 应用恒定加速度公式前，一定要仔细读题检查是否提到了空气阻力

## 速查表

| 情景 | 核心规律/公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 静止释放 | $s = \frac{1}{2} g t^2$, $v = gt$ | $u=0$，向下为正 |
| 最大高度（竖直上抛） | $v^2 = u^2 - 2gs$, $v=0$ | 向上为正，$a=-g$ |
| 总飞行时间（返回起点） | $t = \frac{2u}{g}$ | 起点和终点位移相同 |
| 由 $h-t^2$ 图像求实验 $g$ | $g = 2 \times \text{图像斜率}$ | 由 $h = \frac{1}{2} g t^2$ 推导得到 |
| 最大高度处的加速度 | $a = 9.81 \text{ m s}^{-2}$ 向下 | 速度为零，加速度仍为 $g$ |

## 下一步

自由落体是恒定加速度运动学的核心应用，也是理解抛体运动的基础：抛体运动可分解为匀速水平运动和恒定加速度的竖直自由落体运动。自由落体概念也经常出现在实验考核题目中，测量 $g$ 的实验是 CIE A-Level 物理最常见的实验考点之一。掌握自由落体的符号约定和解题规律，会让你更容易应对更复杂的运动主题。

- [抛体运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u2-projectile-motion/)
- [动力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-overview/)
- [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u3-newton-s-laws-of-motion/)

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