方均根速率

CIE A-Level 物理· 第19单元：理想气体· 35 分钟阅读

1. 方均根速率的定义★★☆☆☆⏱ 10 min

在任意理想气体样本中，单个分子以不同速率做无规则运动。我们无法用单个分子的速率描述整个气体的行为，因此我们使用一种统计平均值，即方均根速率，来代表分子的典型速率。

📘 定义

方均根速率

$v_{rms}$

气体样本中所有分子速率平方的平均值（平均数）的平方根。

例:

对于速率分别为200 m/s、300 m/s、400 m/s的3个分子： $v_{rms} = \frac{20 0 ^{2} + 30 0 ^{2} + 40 0 ^{2}}{3} \approx 311 m/s$

📐 例题

四个气体分子的速率分别为100 m/s、200 m/s、300 m/s和400 m/s，计算这些分子的方均根速率。

1
首先，计算每个速率的平方，并对平方值求和：
2
$100^2 + 200^2 + 300^2 + 400^2 = 10000 + 40000 + 90000 + 160000 = 300000 \, \text{m}^2\text{s}^{-2}$
3
除以分子数量，得到速率平方的平均值：
4
$\text{Mean square speed} = \frac{300000}{4} = 75000 \, \text{m}^2\text{s}^{-2}$
5
对方均速率开平方，得到 $v_{rms}$ ：
6
$v_{\text{rms}} = \sqrt{75000} \approx 274 \, \text{m s}^{-1}$

2. 方均根速率与气体动理论方程★★★☆☆⏱ 15 min

从分子动理论的基本假设出发，我们可以推导出理想气体施加的压强、密度与分子方均根速率之间的关系。这是理想气体理论中最重要的方程之一。

🔬 推导

目标:

推导压强、密度和方均根速率之间的关系

起点:

基于边长为 $L$ 、盛有 $N$ 个质量均为 $m$ 的分子的立方容器的分子动理论假设

1
单个分子与容器壁发生弹性碰撞，动量变化量为 $Δ p = 2 m v_{x}$ 。与同一壁面两次碰撞的间隔时间为 $Δ t = 2 L / v_{x}$ ，因此该分子对壁面的作用力为 $F = Δ p /Δ t = m v_{x}^{2} / L$ 。
2
对于 $N$ 个分子，总平均作用力为 $F = \frac{m}{L} \sum v_{x_{i}}^{2} = \frac{N m v _{x}^{2}}{L}$ 。根据对称性， $\overline{v^{2}} = 3 \overline{v_{x}^{2}}$ ，因此 $\overline{v_{x}^{2}} = v_{rms}^{2} /3$ 。
3
压强 $p = F / A$ ，其中 $A = L^{2}$ 是壁面面积。代入后得到 $p = \frac{N m v _{rms}^{2}}{3 L ^{3}} = \frac{N m}{3 V} v_{rms}^{2}$ 。密度 $ρ = N m / V$ ，因此得到最终关系式。

结果:

p = \frac{1}{3}\rho v_{\text{rms}}^2

📐 例题

某种气体在压强为 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ 时密度为 $1.2 kg m^{- 3}$ ，计算气体分子的方均根速率。

1
整理气体动理论方程，分离出 $v_{rms}$ ：
2
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3p}{\rho}}$
3
代入已知数值：
4
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 \times 1.0 \times 10^5}{1.2}} = \sqrt{250000} = 500 \, \text{m s}^{-1}$

3. 方均根速率与绝对温度★★★☆☆⏱ 15 min

将气体动理论方程与理想气体状态方程结合，可得到方均根速率、绝对温度与气体摩尔质量之间的直接关系。该关系式几乎用于本主题所有CIE考试题目中。

从理想气体状态方程 $p V = n R T$ 出发，代入 $p = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^{2}$ 得到：

v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}

式中 $R$ 为摩尔气体常数， $T$ 为开尔文单位的绝对温度， $M$ 为气体的摩尔质量，单位为 $kg mol^{- 1}$ 。

📐 例题

计算27°C下氧气分子的方均根速率。氧气的摩尔质量为 $0.032 kg mol^{- 1}$ ， $R = 8.31 J mol^{- 1} K^{- 1}$ 。

1
将摄氏温度转换为开尔文绝对温度：
2
$T = 27 + 273 = 300 \, \text{K}$
3
将数值代入方均根速率公式：
4
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.31 \times 300}{0.032}} = \sqrt{233718.75} \approx 480 \, \text{m s}^{-1}$

4. 常见陷阱

错误做法:

在 $v_{rms}$ 公式中使用摄氏温度而非开尔文温度

原因:

公式 $v_{rms} = 3 R T / M$ 要求使用绝对（开尔文）温度，使用摄氏温度会得到错误的、远低于正确值的结果。

正确做法:

代入公式前，始终将摄氏温度加上273转换为开尔文温度。

错误做法:

先计算平均速率，再对其平方

原因:

方均根速率是平方的平均值的平方根，不是平均值的平方。这种错误总会低估 $v_{rms}$ 。

正确做法:

先对每个速率分别平方，计算平方值的平均值，再开平方。

错误做法:

使用分子质量（千克/分子）而非摩尔质量（千克/摩尔）

原因:

气体常数 $R$ 的单位是 $J mol^{- 1} K^{- 1}$ ，因此M必须是摩尔质量，而非单个分子的质量。这种错误会使结果比正确值大3个数量级左右。

正确做法:

如果使用单个分子的质量 $m$ ，则应使用替代公式 $v_{rms} = 3 k T / m$ ，其中 $k$ 是玻尔兹曼常数。

错误做法:

假设所有气体在相同温度下的方均根速率相同

原因:

方均根速率取决于摩尔质量，因此相同温度下，摩尔质量越大的气体分子速率越慢。

正确做法:

比较不同气体的方均根速率时，务必比较它们的摩尔质量。

5. 速查表

物理量	公式
由单个分子速率求方均根速率	$\frac{\sum v _{i}^{2}}{N}$
由 $p$ 和 $ρ$ 求方均根速率	$\frac{3 p}{ρ}$
由 $T$ 和 $M$ 求方均根速率	$\frac{3 R T}{M}$
由 $T$ 和 $m$ （分子质量）求方均根速率	$\frac{3 k T}{m}$
气体动理论关系式	$p = \frac{1}{3} ρ v_{rms}^{2}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · P2
根据温度计算方均根速率
2022 · P1
比较两种气体的方均根速率
2021 · P2
推导方均根速率关系式

下一步

方均根速率是核心统计量，是CIE A-Level热物理和分子动理论后续所有学习的基础。理解方均根速率与温度、压强的关系，能帮助你解决扩散、内能和热传递相关问题，这些问题经常出现在选择题和结构化题目中。本小节也为平均分子动能与绝对温度之间的关键关系打下基础，这一核心概念贯穿大纲中所有热物理主题。