# 方均根速率

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-root-mean-square-speed/

本小节介绍方均根（rms）速率，它是理想气体分子动理论中的核心统计量。你将学习如何定义、计算方均根速率，并将其与CIE A-Level考试题目中的气体压强、密度和绝对温度建立联系。

**先修:** [理想气体的分子动理论假设](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-kinetic-theory-assumptions/); [理想气体状态方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-ideal-gas-equation/)

## 学习目标

- 定义理想气体分子的方均根（rms）速率
- 将方均根速率与气体压强、密度和绝对温度联系起来
- 根据已知气体性质计算方均根速率
- 规避计算方均根速率时的常见考试陷阱

## 方均根速率的定义

在任意理想气体样本中，单个分子以不同速率做无规则运动。我们无法用单个分子的速率描述整个气体的行为，因此我们使用一种统计平均值，即方均根速率，来代表分子的典型速率。

**方均根速率** — 气体样本中所有分子速率平方的平均值（平均数）的平方根。

*记法:* $v_{\text{rms}}$

*例:* 对于速率分别为200 m/s、300 m/s、400 m/s的3个分子：$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{200^2 + 300^2 + 400^2}{3}} \approx 311 \, \text{m/s}$

**例题:** 四个气体分子的速率分别为100 m/s、200 m/s、300 m/s和400 m/s，计算这些分子的方均根速率。

1. 首先，计算每个速率的平方，并对平方值求和：
2. $$100^2 + 200^2 + 300^2 + 400^2 = 10000 + 40000 + 90000 + 160000 = 300000 \, \text{m}^2\text{s}^{-2}$$
3. 除以分子数量，得到速率平方的平均值：
4. $$\text{Mean square speed} = \frac{300000}{4} = 75000 \, \text{m}^2\text{s}^{-2}$$
5. 对方均速率开平方，得到$v_{\text{rms}}$：
6. $$v_{\text{rms}} = \sqrt{75000} \approx 274 \, \text{m s}^{-1}$$

## 方均根速率与气体动理论方程

从分子动理论的基本假设出发，我们可以推导出理想气体施加的压强、密度与分子方均根速率之间的关系。这是理想气体理论中最重要的方程之一。

**推导:** 推导压强、密度和方均根速率之间的关系

*起点:* 基于边长为$L$、盛有$N$个质量均为$m$的分子的立方容器的分子动理论假设

1. 单个分子与容器壁发生弹性碰撞，动量变化量为$\Delta p = 2mv_x$。与同一壁面两次碰撞的间隔时间为$\Delta t = 2L/v_x$，因此该分子对壁面的作用力为$F = \Delta p/\Delta t = mv_x^2/L$。
2. 对于$N$个分子，总平均作用力为$F = \frac{m}{L}\sum v_{x_i}^2 = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}$。根据对称性，$\overline{v^2} = 3\overline{v_x^2}$，因此$\overline{v_x^2} = v_{\text{rms}}^2/3$。
3. 压强$p = F/A$，其中$A = L^2$是壁面面积。代入后得到$p = \frac{Nmv_{\text{rms}}^2}{3L^3} = \frac{Nm}{3V}v_{\text{rms}}^2$。密度$\rho = Nm/V$，因此得到最终关系式。

*结论:* p = \frac{1}{3}\rho v_{\text{rms}}^2

**例题:** 某种气体在压强为$1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}$时密度为$1.2 \, \text{kg m}^{-3}$，计算气体分子的方均根速率。

1. 整理气体动理论方程，分离出$v_{\text{rms}}$：
2. $$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3p}{\rho}}$$
3. 代入已知数值：
4. $$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 \times 1.0 \times 10^5}{1.2}} = \sqrt{250000} = 500 \, \text{m s}^{-1}$$

## 方均根速率与绝对温度

将气体动理论方程与理想气体状态方程结合，可得到方均根速率、绝对温度与气体摩尔质量之间的直接关系。该关系式几乎用于本主题所有CIE考试题目中。

从理想气体状态方程$pV = nRT$出发，代入$p = \frac{1}{3}\frac{Nm}{V}v_{\text{rms}}^2$得到：

$$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

式中$R$为摩尔气体常数，$T$为开尔文单位的绝对温度，$M$为气体的摩尔质量，单位为$\text{kg mol}^{-1}$。

> **info**
>
> 方均根速率与$\sqrt{T}$成正比，与$\sqrt{M}$成反比。这意味着温度越高，方均根速率越大；相同温度下，摩尔质量越大的气体，方均根速率越小。

**例题:** 计算27°C下氧气分子的方均根速率。氧气的摩尔质量为$0.032 \, \text{kg mol}^{-1}$，$R = 8.31 \, \text{J mol}^{-1} \text{K}^{-1}$。

1. 将摄氏温度转换为开尔文绝对温度：
2. $$T = 27 + 273 = 300 \, \text{K}$$
3. 将数值代入方均根速率公式：
4. $$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.31 \times 300}{0.032}} = \sqrt{233718.75} \approx 480 \, \text{m s}^{-1}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 在$v_{\text{rms}}$公式中使用摄氏温度而非开尔文温度
  - 原因: 公式$v_{\text{rms}} = \sqrt{3RT/M}$要求使用绝对（开尔文）温度，使用摄氏温度会得到错误的、远低于正确值的结果。
  - 正确做法: 代入公式前，始终将摄氏温度加上273转换为开尔文温度。
- **错误做法:** 先计算平均速率，再对其平方
  - 原因: 方均根速率是平方的平均值的平方根，不是平均值的平方。这种错误总会低估$v_{\text{rms}}$。
  - 正确做法: 先对每个速率分别平方，计算平方值的平均值，再开平方。
- **错误做法:** 使用分子质量（千克/分子）而非摩尔质量（千克/摩尔）
  - 原因: 气体常数$R$的单位是$\text{J mol}^{-1} \text{K}^{-1}$，因此M必须是摩尔质量，而非单个分子的质量。这种错误会使结果比正确值大3个数量级左右。
  - 正确做法: 如果使用单个分子的质量$m$，则应使用替代公式$v_{\text{rms}} = \sqrt{3kT/m}$，其中$k$是玻尔兹曼常数。
- **错误做法:** 假设所有气体在相同温度下的方均根速率相同
  - 原因: 方均根速率取决于摩尔质量，因此相同温度下，摩尔质量越大的气体分子速率越慢。
  - 正确做法: 比较不同气体的方均根速率时，务必比较它们的摩尔质量。

## 速查表

| 物理量 | 公式 |
| --- | --- |
| 由单个分子速率求方均根速率 | $\sqrt{\frac{\sum v_i^2}{N}}$ |
| 由$p$和$\rho$求方均根速率 | $\sqrt{\frac{3p}{\rho}}$ |
| 由$T$和$M$求方均根速率 | $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ |
| 由$T$和$m$（分子质量）求方均根速率 | $\sqrt{\frac{3kT}{m}}$ |
| 气体动理论关系式 | $p = \frac{1}{3}\rho v_{\text{rms}}^2$ |

## 下一步

方均根速率是核心统计量，是CIE A-Level热物理和分子动理论后续所有学习的基础。理解方均根速率与温度、压强的关系，能帮助你解决扩散、内能和热传递相关问题，这些问题经常出现在选择题和结构化题目中。本小节也为平均分子动能与绝对温度之间的关键关系打下基础，这一核心概念贯穿大纲中所有热物理主题。

- [理想气体的内能](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-internal-energy-of-ideal-gas/)
- [热力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u20-overview/)
- [温度与热平衡](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u20-temperature-and-thermal-equilibrium/)

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