# 气体动理论

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-kinetic-theory-of-gases/

本小节通过对单个分子的运动建模，解释理想气体的宏观性质。你将学习核心假设，推导关键的动理论方程，并根据气体性质计算分子速率。

**先修:** [理想气体状态方程 $pV = nRT$](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-ideal-gas-law/)

## 学习目标

- 陈述理想气体动理论的核心假设
- 从基本原理推导气体动理论方程 $pV = \frac{1}{3}Nm\langle c^2 \rangle$
- 根据温度和摩尔质量计算气体分子的方均根速率
- 建立分子平均动能与热力学温度的关系

## 动理论模型的假设

气体动理论通过微观模型解释理想气体的宏观行为，它基于一系列简化假设，这些假设符合低压高温条件下实际气体的行为。

**理想气体（动理论定义）** — 符合所有动理论假设和理想气体状态方程的气体

*例:* 室温和标准大气压下的氦气可近似为理想气体

- 所有分子均相同，单个分子的体积与气体总体积相比可忽略不计
- 分子在碰撞之间做匀速随机运动
- 所有碰撞（分子之间以及分子与容器壁之间）都是完全弹性碰撞
- 除碰撞过程外，分子之间不存在分子间作用力
- 碰撞间隔的时间远大于碰撞本身的持续时间

> **考试提示:** CIE 考试通常要求写出5个假设中的任意4个，因此熟记前四个即可得满分

## 气体动理论方程的推导

**推导:** 推导理想气体压强、体积和分子速率之间的关系

*起点:* 牛顿运动定律和动理论假设

1. 考虑一个质量为$m$的分子，沿x轴方向以速率$v_x$在边长为$L$的立方容器中运动。与容器壁发生弹性碰撞后，分子的动量变化为$-2mv_x$，因此容器壁的动量变化为$+2mv_x$。
2. 分子与同一容器壁两次碰撞的间隔时间为$\Delta t = \frac{2L}{v_x}$，因此容器壁受到的力为：
3. $$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{mv_x^2}{L}$$
4. 对于$N$个分子，总力为$F = \frac{Nm \langle v_x^2 \rangle}{L}$，其中$\langle v_x^2 \rangle$是x方向速率的方均。由于分子运动是随机的，因此$\langle c^2 \rangle = 3\langle v_x^2 \rangle$，其中$\langle c^2 \rangle$是总方均速率。
5. 压强$p = \frac{F}{A} = \frac{F}{L^2} = \frac{Nm \langle v_x^2 \rangle}{L^3} = \frac{Nm \langle v_x^2 \rangle}{V}$。代入$\langle v_x^2 \rangle = \frac{\langle c^2 \rangle}{3}$可得：

*结论:* 核心气体动理论方程：

$$pV = \frac{1}{3} N m \langle c^2 \rangle$$

**例题:** 一个体积为0.01 m³的立方容器中装有$2 \times 10^{23}$个分子，每个分子质量为$5 \times 10^{-26}$ kg。若气体压强为$1.0 \times 10^5$ Pa，计算分子的方均速率。

1. 1. 写出气体动理论方程：
2. $$pV = \frac{1}{3} N m \langle c^2 \rangle$$
3. 2. 整理得到$\langle c^2 \rangle$的表达式：
4. $$\langle c^2 \rangle = \frac{3pV}{Nm}$$
5. 3. 代入数值计算：
6. $$\langle c^2 \rangle = \frac{3 \times 1.0 \times 10^5 \times 0.01}{2 \times 10^{23} \times 5 \times 10^{-26}} = 3 \times 10^5 \, \text{m}^2 \text{s}^{-2}$$

> **考试提示:** 从基本原理出发的完整推导是CIE试卷2中常见的6-7分大题

## 方均根速率

**方均根（r.m.s）速率** — 气体分子方均速率的平方根，用于衡量分子的典型运动速率：$c_{\text{rms}} = \sqrt{\langle c^2 \rangle}$

*记法:* $c_{\text{rms}}$

将动理论方程与理想气体状态方程$pV = NkT$联立（其中$k$为玻尔兹曼常数），可得到方均根速率关于温度的关系式：

$$NkT = \frac{1}{3}Nm c_{\text{rms}}^2 \implies c_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$$

用摩尔质量$M$（每摩尔气体的质量）和气体常数$R$表示，该式可写为：

$$c_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

**例题:** 计算27°C下氮分子的方均根速率。已知氮气摩尔质量为28 g mol⁻¹，$R = 8.31$ J mol⁻¹ K⁻¹。

1. 1. 将温度转换为开尔文，摩尔质量转换为千克单位：
2. $$T = 27 + 273 = 300 \, \text{K}, \quad M = 0.028 \, \text{kg} \, \text{mol}^{-1}$$
3. 2. 代入公式计算：
4. $$c_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.31 \times 300}{0.028}} \approx 517 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}$$

## 气体分子的平均动能

整理关系式$3kT = mc_{\text{rms}}^2$，可得到单个气体分子的平均动能：

$$\langle E_k \rangle = \frac{1}{2} m \langle c^2 \rangle = \frac{3}{2} kT$$

这是一个核心结论：理想气体分子的平均动能仅与热力学温度有关，且与$T$成正比。因此热力学温度是气体分子平均随机动能的量度。

**例题:** 计算1 mol理想气体在300 K下的总动能，已知$R = 8.31$ J mol⁻¹ K⁻¹。

1. 1. 单个分子的平均动能为$\frac{3}{2}kT$。1 mol气体的分子数为阿伏伽德罗常数$N_A$：
2. 2. 总动能 = $N_A \times \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}(N_A k) T = \frac{3}{2}RT$，因为$R = N_A k$
3. 3. 代入数值计算：
4. $$\text{Total } E_k = 1.5 \times 8.31 \times 300 = 3740 \, \text{J} = 3.74 \, \text{kJ}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 不加语境地陈述"分子体积可忽略"
  - 原因: CIE 阅卷官要求你明确说明分子体积是相对于什么可忽略
  - 正确做法: 始终明确写出单个分子的体积与气体所占总体积相比可忽略不计
- **错误做法:** 混淆$\langle c^2 \rangle$（平方的平均）和$(\langle c \rangle)^2$（平均的平方）
  - 原因: 对于一组不同的数值，平方的平均永远不等于平均的平方，混淆会导致方均根速率计算错误
  - 正确做法: 记住方均根速率定义为$\sqrt{\langle c^2 \rangle}$，不是平均速率的平方
- **错误做法:** 计算$c_{\text{rms}}$时，摩尔质量用g mol⁻¹而非kg mol⁻¹单位
  - 原因: 气体常数$R$使用国际单位制（J = kg m² s⁻²），因此质量必须用千克单位，才能得到正确的单位为m s⁻¹的速率
  - 正确做法: 代入公式前，始终将摩尔质量单位从g mol⁻¹转换为kg mol⁻¹
- **错误做法:** 计算动能或方均根速率时，使用摄氏温度而非开尔文温度
  - 原因: 关系式$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$使用的是热力学（开尔文）温度，使用摄氏温度会得到错误结果
  - 正确做法: 计算热力学温度$T$时，始终在摄氏温度基础上加273
- **错误做法:** 陈述给定温度下所有分子的动能都相同
  - 原因: 温度仅决定平均动能，单个分子的速率和动能分布范围很广
  - 正确做法: 始终明确说明，对于给定的热力学温度，分子的平均动能是固定的

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 气体动理论方程 | $pV = \frac{1}{3}Nm\langle c^2 \rangle$ | N = 分子总数 |
| 方均根速率定义 | $c_{\text{rms}} = \sqrt{\langle c^2 \rangle}$ | 分子的典型速率 |
| 方均根速率与温度的关系 | $c_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ | M = 摩尔质量，单位为kg mol⁻¹ |
| 单个分子平均动能 | $\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$ | 仅与温度T有关 |
| n mol气体总动能 | $E_{\text{total}} = \frac{3}{2}nRT$ | 适用于单原子理想气体 |

## 下一步

气体动理论是A-Level热物理的基础，它将微观分子行为与压强、温度等可测量的宏观性质联系起来。该模型在后续主题中被扩展，用于解释理想气体的内能、热传递和物态变化。考试中经常将动理论与理想气体定律结合出题，因此掌握此处的推导和核心公式有助于你在多步大题中获得满分。温度与平均动能的关系也是理解高阶热物理中熵和热平衡的核心概念。

- [方均根速率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-root-mean-square-speed/)
- [理想气体的内能](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-internal-energy-of-ideal-gas/)
- [热力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u20-overview/)

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