# 理想气体的内能

> 物理 · CIE A-Level
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-internal-energy-of-ideal-gas/

本模块讲解理想气体内能的定义，解释为什么理想气体的分子间势能为零，并演示如何根据温度和气体的物质的量计算总内能。

**先修:** [理想气体假设与分子动理论](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-ideal-gas-assumptions/); [热力学温标](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-thermodynamic-temperature/)

## 学习目标

- 定义理想气体的内能，并解释其各组成部分的来源
- 解释为什么理想气体的分子间势能为零
- 计算给定物质的量的理想气体的内能及其变化量

## 理想气体内能的定义

**内能** — 热力学系统内所有粒子的所有无规则动能与所有分子间势能的总和

*记法:* U

*例:* 对于理想气体，势能为零，因此内能等于总无规则动能

理想气体分子动理论模型的核心假设是：除了瞬时碰撞外，气体分子之间不存在分子间作用力。如果不存在分子间作用力，将分子移动得更近或更远不需要做功，因此理想气体的分子间势能始终严格为零。

> **info**
>
> 这仅适用于理想气体。对于实际气体、液体和固体，势能不为零，会对总内能产生贡献。

**例题:** 解释为什么理想气体的内能仅取决于其温度。

1. 从任意系统的内能定义出发：
2. $$U = E_{k,\text{total}} + E_{p,\text{total}}$$
3. 对于理想气体，不存在分子间作用力，所以 $E_{p,\text{total}} = 0$，因此 $U = E_{k,\text{total}}$（仅总动能）。
4. 根据分子动理论，理想气体分子的平均动能与热力学温度 $T$ 成正比。
5. 总动能等于分子数乘以平均动能，因此对于固定质量的理想气体，总内能仅与 $T$ 成正比。

## 内能的计算

理想气体的总内能由分子动理论推导得出，基于气体分子的自由度（储存动能的独立模式）数量。通式为：

$$U = \frac{f}{2} n R T$$

其中 $f$ 是自由度数量。对于单原子理想气体（氦、氩等稀有气体），$f=3$（室温下只有3个平动模式，转动模式不活跃），因此公式简化为CIE考试中最常考的形式：

$$U = \frac{3}{2} n R T$$

**例题:** 计算27 °C下2.0摩尔氦气（视为单原子理想气体）的内能。取 $R = 8.31 \text{ J mol}^{-1} \text{K}^{-1}$。

1. 首先将温度从摄氏度转换为开尔文，因为公式要求使用热力学温度：
2. $$T = 27 + 273 = 300 \text{ K}$$
3. 将数值代入单原子理想气体内能公式：
4. $$U = \frac{3}{2} n R T = 1.5 \times 2.0 \times 8.31 \times 300$$
5. $$U = 7479 \approx 7500 \text{ J} \quad (2 \text{ significant figures})$$

**概念自测**

检验你的理解：

1. 0 °C下1.0摩尔单原子理想气体的内能是多少？

   - 0 J
   - ~3400 J
   - ~1100 J
   - ~7500 J

   *答案:* ~3400 J

   *解析:* 正确：$U = 1.5 \times 1 \times 8.31 \times 273 \approx 3400 \text{ J}$。如果你得到0 J，说明你忘记将摄氏度转换为开尔文了！

## 理想气体内能的变化

由于理想气体的内能仅取决于温度，因此任何内能变化都与温度变化成正比。压强和体积不会直接影响理想气体的内能，它们只有在引起温度变化时才会改变内能。

> **tip**
>
> 这是一个常见的考试考点：对于理想气体的任何等温（温度恒定）过程，内能变化 $\Delta U = 0$，恒成立。

**例题:** 一定质量的理想气体发生等温膨胀。说明并解释其内能的变化。

1. 1. 对于理想气体，内能仅取决于热力学温度，因为势能为零。
2. 2. 等温过程的定义是温度恒定的过程，因此 $\boxed{\Delta T = 0}$。
3. 3. 由于 $\boxed{\Delta U \propto \Delta T}$，因此 $\boxed{\Delta U = 0}$，即内能保持不变。

**考试命令词**

CIE考试中本考点常见的指令术语：

- **Explain why** — 你必须将答案与理想气体不存在分子间作用力的假设联系起来 *(当被问到为什么内能仅取决于温度时，一定要从'不存在分子间作用力 → 势能为零'开始作答才能拿到满分。)*

- **Calculate** — 你必须展示所有代入步骤，并给出带有正确单位、有效数字符合要求的最终答案

## 常见错误

- **错误做法:** 计算内能时忘记将摄氏度转换为开尔文
  - 原因: 所有气体热力学公式都使用开尔文的热力学温度，而非摄氏度。使用摄氏度会得到完全错误的结果
  - 正确做法: 总是先将温度转换为开尔文，方法是加上273（大多数CIE考题中273.15可接受但不要求）
- **错误做法:** 计算理想气体内能时计入分子间势能
  - 原因: 根据定义，理想气体不存在分子间作用力，因此势能始终为零
  - 正确做法: 计算理想气体内能时完全忽略势能
- **错误做法:** 认为温度恒定的理想气体，压强或体积变化时内能会改变
  - 原因: 理想气体的内能仅取决于温度，与压强、体积无关
  - 正确做法: 如果温度恒定，$\boxed{\Delta U = 0}$，无论压强或体积如何变化

## 下一步

理解理想气体的内能是学习热力学第一定律的基础，热力学第一定律将内能变化与热传递、对气体做功/气体对外做功联系起来。这个概念也是所有后续热过程学习的基础，包括绝热变化、等温变化和热机。你在解决气体定律和热力学问题时会反复用到内能与温度的关系，因此掌握理想气体假设与零势能之间的联系至关重要。

- [热力学第一定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u20-first-law-of-thermodynamics/)
- [热力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u20-overview/)
- [温度与热平衡](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u20-temperature-and-thermal-equilibrium/)

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