简谐运动

CIE A-Level 物理· 9702 2025 Syllabus 18.1· 15 分钟阅读

1. 简谐运动的定义特征★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

简谐运动

a = -\omega^2 x

满足两个核心条件的周期性运动：1) 加速度与偏离固定平衡位置的位移成正比，2) 加速度始终指向平衡位置（方向与位移相反）。

📐 例题

一个小球在两平行墙之间弹性反弹，在两墙之间运动时速率恒定。该运动是简谐运动吗？解释你的答案。

1
回忆简谐运动的两个必要条件： $a \propto x$ （x为偏离平衡的位移），且a指向平衡位置。
2
对于这个反弹小球，在两墙之间运动时，无论它离平衡中点多远，加速度都为零。
3
只有小球撞墙时加速度才不为零，因此加速度并非在所有位置都与位移成正比。
4
结论：该运动是不是简谐运动。

Exam tip:

当题目要求判断某运动是否为简谐运动时，务必检查两个条件

2. 简谐运动的运动学方程★★★☆☆⏱ 6 min

如果振子t=0时从最大位移处（ $x = + A$ ）开始运动，位移方程为 $x = A cos (ω t)$ 。如果t=0时从平衡位置（ $x = 0$ ）开始向正方向运动，位移方程为 $x = A sin (ω t)$ 。对位移求导得到速度，对速度求导得到加速度，可验证定义方程 $a = - ω^{2} x$ 成立。

v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t) = \pm \omega\sqrt{A^2 - x^2}

📐 例题

一个简谐振子的振幅为 $0.20 m$ ，角频率为 $4.0 rad s^{- 1}$ ，t=0时从最大位移处开始运动。计算t=0.50 s时的位移、速度和加速度。

1
使用从最大位移处出发的位移方程：
2
$x = A\cos(\omega t) = 0.20 \cos(4.0 \times 0.50) = 0.20 \cos(2)$
3
计算得 $cos (2) \approx - 0.416$ ，因此 $x \approx 0.20 \times (- 0.416) = - 0.083 m$
4
速度是位移对时间的导数：
5
$v = -A\omega \sin(\omega t) = -(0.20 \times 4.0) \sin(2) = -0.80 \times 0.909 = -0.73 \text{ m s}^{-1}$
6
用定义方程 $a = - ω^{2} x$ 验证加速度：
7
$a = -(4.0)^2 (-0.083) = 1.3 \text{ m s}^{-2}$

3. 简谐运动的图像表示★★★☆☆⏱ 4 min

简谐运动中位移、速度、加速度随时间变化的图像都是正弦曲线，三者之间存在固定的相位差：

加速度与位移相位差180°（ $π$ 弧度）
速度比位移相位超前90°（ $π /2$ 弧度）
位移-时间图像的斜率等于速度，速度-时间图像的斜率等于加速度

📐 例题

对于t=0时从 $x = + A$ 出发的振子，画出位移-时间和加速度-时间图像，并说明两者的相位差。

1
位移方程为 $x (t) = A cos (ω t)$ ，因此图像t=0时从+A开始，在+A和-A之间振荡，周期为 $T = 2 π / ω$ 。
2
加速度为 $a (t) = - ω^{2} x (t)$ ，即 $a (t) = - ω^{2} A cos (ω t)$ 。
3
这意味着加速度图像是位移图像的反转，t=0时从 $- ω^{2} A$ 开始。
4
位移和加速度的相位差为 $π$ 弧度（180°）：两者始终反相。

4. 常见简谐运动系统★★☆☆☆⏱ 5 min

CIE考试中常考的两个简谐运动例子是水平质量-弹簧系统和小角度单摆振动。它们的周期公式都可以从简谐运动的定义方程推导得出：

系统	角频率	周期
质量-弹簧系统（质量 $m$ ，劲度系数 $k$ ）	$ω = \frac{k}{m}$	$T = 2 π \frac{m}{k}$
单摆（摆长 $l$ ，小角度）	$ω = \frac{g}{l}$	$T = 2 π \frac{l}{g}$

📐 例题

一个0.50 kg的物体连接在劲度系数为20 N m⁻¹的弹簧上，做简谐运动。计算振动周期。

1
使用质量-弹簧简谐运动系统的周期公式：
2
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
3
代入数值 $m = 0.50 kg$ ， $k = 20 N m^{- 1}$ ：
4
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.50}{20}} = 2\pi \sqrt{0.025} \approx 2\pi (0.158) \approx 1.0 \text{ s}$

5. 常见陷阱

错误做法:

在定义方程 $a = - ω^{2} x$ 中遗漏负号

原因:

负号用于表示加速度方向与位移方向相反，这是简谐运动的核心条件

正确做法:

定义方程中一定要带上负号，被问及时要明确说明方向

错误做法:

从最大位移出发时误用正弦函数表示位移（反之亦然）

原因:

这会得到错误的初始位移，导致所有其他物理量的计算都出错

正确做法:

选择位移方程前，一定要检查t=0时的初始位置

错误做法:

认为所有周期性运动都是简谐运动

原因:

只有满足简谐运动两个条件的运动才是简谐运动，很多周期性运动并不满足该条件

正确做法:

当被要求判断运动是否为简谐运动时，一定要检查两个定义条件

错误做法:

大角度摆动时仍使用单摆周期公式

原因:

该公式推导时使用了小角度近似，该近似在角度大于约10°时不成立

正确做法:

要记住该公式仅适用于小振幅单摆振动

错误做法:

混淆简谐运动的角频率和圆周运动的角速度

原因:

虽然它们符号和单位都相同，但描述的是不同的物理量

正确做法:

记住在简谐运动中， $ω = 2 π f = 2 π / T$ ，是描述振动快慢的常数

6. 速查表

物理量	公式	要点
定义简谐运动	$a = - ω^{2} x$	必须满足两个条件
位移（x = A at t=0）	$x = A cos ω t$
位移（x = 0 at t=0）	$x = A sin ω t$
最大速率	$v_{ma x} = ω A$	出现在x=0（平衡位置）处
最大加速度	$a_{ma x} = ω^{2} A$	出现在最大位移处
质量-弹簧周期	$T = 2 π \frac{m}{k}$	与振幅无关
单摆周期	$T = 2 π \frac{l}{g}$	仅适用于<10°的小角度
相位差（x vs a）	$π$ rad (180°)	始终完全反相

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
从给定运动中判断简谐运动
2023 · 2
计算质量-弹簧系统简谐运动的周期
2024 · 1
位移x与加速度a的相位差

下一步

现在你已经掌握了简谐运动的核心定义和运动学，接下来可以在此基础上学习简谐运动的能量变化，然后是阻尼振动和受迫振动，这些是CIE A-Level振动单元的剩余内容。简谐运动是所有波动现象的基础模型，因此牢固掌握本小节对后续学习行波、驻波和干涉等内容至关重要。考试题目经常将简谐运动概念与能量、圆周运动结合考查，因此要多练习应用定义方程和图像分析，巩固你的理解。