# 简谐运动

> CIE A-Level 物理 · 第18单元：振动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-simple-harmonic-motion/

本小节涵盖CIE A-Level物理中所有振动的基础模型——简谐运动（SHM）的核心定义、运动学方程、图像分析以及常见系统。

**先修:** 基础运动学和微分; 弹簧胡克定律; 圆周运动基础

## 学习目标

- 阐述并应用简谐运动（SHM）的两个定义条件
- 推导并使用简谐运动中位移、速度和加速度的运动学方程
- 解读简谐运动的图像表示并识别相位差
- 计算常见简谐运动系统（质量-弹簧系统、单摆）的周期/频率

## 简谐运动的定义特征

**简谐运动** — 满足两个核心条件的周期性运动：1) 加速度与偏离固定平衡位置的位移成正比，2) 加速度始终指向平衡位置（方向与位移相反）。

*记法:* a = -\omega^2 x

**例题:** 一个小球在两平行墙之间弹性反弹，在两墙之间运动时速率恒定。该运动是简谐运动吗？解释你的答案。

1. 回忆简谐运动的两个必要条件：$a \propto x$（x为偏离平衡的位移），且a指向平衡位置。
2. 对于这个反弹小球，在两墙之间运动时，无论它离平衡中点多远，加速度都为零。
3. 只有小球撞墙时加速度才不为零，因此加速度并非在所有位置都与位移成正比。
4. 结论：该运动是**不是**简谐运动。

> **tip**
>
> 考试题目几乎总会考查你是否记住了简谐运动的两个条件。绝对不要只说一个：你必须同时提到正比关系和方向。

> **考试提示:** 当题目要求判断某运动是否为简谐运动时，务必检查两个条件

## 简谐运动的运动学方程

如果振子t=0时从最大位移处（$x = +A$）开始运动，位移方程为$x = A\cos(\omega t)$。如果t=0时从平衡位置（$x=0$）开始向正方向运动，位移方程为$x = A\sin(\omega t)$。对位移求导得到速度，对速度求导得到加速度，可验证定义方程$a = -\omega^2 x$成立。

$$v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t) = \pm \omega\sqrt{A^2 - x^2}$$

**例题:** 一个简谐振子的振幅为$0.20 \text{ m}$，角频率为$4.0 \text{ rad s}^{-1}$，t=0时从最大位移处开始运动。计算t=0.50 s时的位移、速度和加速度。

1. 使用从最大位移处出发的位移方程：
2. $$x = A\cos(\omega t) = 0.20 \cos(4.0 \times 0.50) = 0.20 \cos(2)$$
3. 计算得$\cos(2) \approx -0.416$，因此$x \approx 0.20 \times (-0.416) = -0.083 \text{ m}$
4. 速度是位移对时间的导数：
5. $$v = -A\omega \sin(\omega t) = -(0.20 \times 4.0) \sin(2) = -0.80 \times 0.909 = -0.73 \text{ m s}^{-1}$$
6. 用定义方程$a = -\omega^2 x$验证加速度：
7. $$a = -(4.0)^2 (-0.083) = 1.3 \text{ m s}^{-2}$$

## 简谐运动的图像表示

简谐运动中位移、速度、加速度随时间变化的图像都是正弦曲线，三者之间存在固定的相位差：

- 加速度与位移相位差180°（$\pi$弧度）
- 速度比位移相位超前90°（$\pi/2$弧度）
- 位移-时间图像的斜率等于速度，速度-时间图像的斜率等于加速度

**例题:** 对于t=0时从$x = +A$出发的振子，画出位移-时间和加速度-时间图像，并说明两者的相位差。

1. 位移方程为$x(t) = A\cos(\omega t)$，因此图像t=0时从+A开始，在+A和-A之间振荡，周期为$T = 2\pi/\omega$。
2. 加速度为$a(t) = -\omega^2 x(t)$，即$a(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t)$。
3. 这意味着加速度图像是位移图像的反转，t=0时从$-\omega^2 A$开始。
4. 位移和加速度的相位差为$\pi$弧度（180°）：两者始终反相。

## 常见简谐运动系统

CIE考试中常考的两个简谐运动例子是水平质量-弹簧系统和小角度单摆振动。它们的周期公式都可以从简谐运动的定义方程推导得出：

| 系统 | 角频率 | 周期 |
| --- | --- | --- |
| 质量-弹簧系统（质量$m$，劲度系数$k$） | $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ | $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ |
| 单摆（摆长$l$，小角度） | $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ | $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ |

**例题:** 一个0.50 kg的物体连接在劲度系数为20 N m⁻¹的弹簧上，做简谐运动。计算振动周期。

1. 使用质量-弹簧简谐运动系统的周期公式：
2. $$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
3. 代入数值$m = 0.50 \text{ kg}$，$k = 20 \text{ N m}^{-1}$：
4. $$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.50}{20}} = 2\pi \sqrt{0.025} \approx 2\pi (0.158) \approx 1.0 \text{ s}$$

> **note**
>
> 单摆的周期与质量和振幅无关*仅在小角度（<10°）下成立*，此时小角度近似$\sin\theta \approx \theta$有效。

## 常见错误

- **错误做法:** 在定义方程$a = -\omega^2 x$中遗漏负号
  - 原因: 负号用于表示加速度方向与位移方向相反，这是简谐运动的核心条件
  - 正确做法: 定义方程中一定要带上负号，被问及时要明确说明方向
- **错误做法:** 从最大位移出发时误用正弦函数表示位移（反之亦然）
  - 原因: 这会得到错误的初始位移，导致所有其他物理量的计算都出错
  - 正确做法: 选择位移方程前，一定要检查t=0时的初始位置
- **错误做法:** 认为所有周期性运动都是简谐运动
  - 原因: 只有满足简谐运动两个条件的运动才是简谐运动，很多周期性运动并不满足该条件
  - 正确做法: 当被要求判断运动是否为简谐运动时，一定要检查两个定义条件
- **错误做法:** 大角度摆动时仍使用单摆周期公式
  - 原因: 该公式推导时使用了小角度近似，该近似在角度大于约10°时不成立
  - 正确做法: 要记住该公式仅适用于小振幅单摆振动
- **错误做法:** 混淆简谐运动的角频率和圆周运动的角速度
  - 原因: 虽然它们符号和单位都相同，但描述的是不同的物理量
  - 正确做法: 记住在简谐运动中，$\omega = 2\pi f = 2\pi/T$，是描述振动快慢的常数

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 定义简谐运动 | $a = -\omega^2 x$ | 必须满足两个条件 |
| 位移（x = A at t=0） | $x = A\cos\omega t$ |  |
| 位移（x = 0 at t=0） | $x = A\sin\omega t$ |  |
| 最大速率 | $v_{max} = \omega A$ | 出现在x=0（平衡位置）处 |
| 最大加速度 | $a_{max} = \omega^2 A$ | 出现在最大位移处 |
| 质量-弹簧周期 | $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ | 与振幅无关 |
| 单摆周期 | $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ | 仅适用于<10°的小角度 |
| 相位差（x vs a） | $\pi$ rad (180°) | 始终完全反相 |

## 下一步

现在你已经掌握了简谐运动的核心定义和运动学，接下来可以在此基础上学习简谐运动的能量变化，然后是阻尼振动和受迫振动，这些是CIE A-Level振动单元的剩余内容。简谐运动是所有波动现象的基础模型，因此牢固掌握本小节对后续学习行波、驻波和干涉等内容至关重要。考试题目经常将简谐运动概念与能量、圆周运动结合考查，因此要多练习应用定义方程和图像分析，巩固你的理解。

- [简谐运动中的能量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-energy-in-shm/)
- [阻尼振动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-damped-oscillations/)
- [受迫振动与共振](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-forced-oscillations-and-resonance/)

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