受迫振动与共振

CIE A-Level 物理· 35 分钟阅读

1. 受迫振动与自由振动的对比★★☆☆☆⏱ 10 min

自由振动发生在系统受到初始扰动后，不受外部驱动力，自行振动的情况。自由振动始终以系统的**固有频率（ $f_{0}$ ）**振动，由于阻尼作用，振幅会随时间减小。

受迫振动发生在系统受到持续的外部周期性驱动力作用、持续获得能量的情况。无论驱动力频率是多少，系统最终都会稳定在驱动力频率下振动，而非自身的固有频率。

📘 定义

受迫振动

系统在持续的外部周期性驱动力驱动下，稳定在驱动力频率下振动的运动

例:

成年人每隔一段时间反复推动秋千上的孩子

📐 例题

一个收音机调谐电路被调整为接收频率为98 MHz的电台信号。请写出正确调谐时调谐电路的驱动力频率和固有频率。

1
驱动力来自接收到的无线电广播信号，因此驱动力频率等于广播频率：
2
$f_d = 98\ \text{MHz}$
3
为了让调谐电路检测到该信号，必须发生共振，这意味着它的固有频率必须等于驱动力频率：
4
$f_0 = f_d = 98\ \text{MHz}$

Exam tip:

选择题经常在此设陷阱：询问受迫振动的频率，请记住受迫振动的频率始终等于驱动力频率，而非固有频率。

2. 共振现象★★★☆☆⏱ 15 min

当驱动力频率等于（或非常接近）受迫系统的固有频率时，就会发生共振。此时，驱动力始终与系统运动同相位，因此每个周期都有最大能量传递到系统中，导致振动振幅达到最大。

📘 定义

共振

受迫振动系统产生最大振幅响应的现象，对于轻阻尼系统，共振发生在驱动力频率等于系统固有频率时

例:

按秋千的固有频率推秋千，让秋千达到最大高度

📐 例题

解释为什么士兵过固有频率为1.5 Hz的悬索桥时，会被要求便步走。

1
当士兵齐步走时，他们会产生频率等于踏步频率的周期性驱动力。
2
如果踏步频率等于桥梁的固有频率1.5 Hz，就会发生共振。
3
共振时，桥梁振动的振幅会变得非常大，可能会造成灾难性的结构损坏。
4
便步走意味着每个士兵产生的驱动力不同步，因此不会发生共振。

3. 共振曲线与阻尼效应★★★☆☆⏱ 15 min

共振曲线绘制了受迫振动振幅随驱动力频率的变化关系。曲线形状很大程度上取决于系统的阻尼程度。

阻尼程度	最大振幅	峰值位置	峰值宽度
零/轻阻尼	极大	非常接近 $f_{0}$	窄
中等阻尼	中等	略低于 $f_{0}$	中等宽度
大阻尼	小	显著低于 $f_{0}$	宽

📐 例题

比较固有频率同为 $f_{0}$ 的轻阻尼和大阻尼弹簧质量系统的共振曲线。

1
1. y轴标注振幅，x轴标注驱动力频率（ $f_{d}$ ），在x轴上标出 $f_{0}$ 。
2
1. 对于轻阻尼系统：画一个尖锐的高峰，中心几乎正好在 $f_{0}$ 处。当 $f_{d}$ 远离 $f_{0}$ 时，振幅迅速下降。
3
1. 对于大阻尼系统：画一个更低、更宽的峰，位置略向 $f_{0}$ 左侧偏移。所有驱动力频率下的振幅都低于轻阻尼系统。

Exam tip:

CIE经常要求比较共振曲线，请记住：阻尼越大，共振峰越低、越宽。

4. 共振的实际例子★★☆☆☆⏱ 10 min

有益共振：收音机调谐器（调整固有频率匹配广播频率以选择电台）、微波炉（频率匹配水分子固有频率加热食物）、乐器（音板共振放大声音）
有害共振：风或交通引起的桥梁振动、地震中的建筑物振动（如果地震频率匹配建筑物固有频率）、飞机机翼振动导致结构损坏

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测试你对核心概念的理解：

微波炉加热食物的主要原因是：
- 微波比周围空气更热
- 微波频率匹配水分子的固有频率
显示答案
The microwave frequency matches the natural frequency of water molecules —
正确！这是有益共振的例子，最大能量传递到水分子中加热食物。
当未发生共振时，受迫振动系统的振动频率是多少？
- 固有频率 $f_{0}$
- 驱动力频率 $f_{d}$
显示答案
Driving frequency $f_d$ —
正确！无论是否发生共振，受迫振动始终以驱动力频率振动。

5. 常见陷阱

错误做法:

认为受迫振动始终以系统的固有频率振动

原因:

混淆了自由振动和受迫振动；只有自由振动才以固有频率振动

正确做法:

无论固有频率是多少，受迫振动始终以外部驱动力的频率振动

错误做法:

画出高阻尼的共振峰比低阻尼的更高、更尖锐

原因:

颠倒了阻尼对振幅和峰宽的影响

正确做法:

阻尼越大，共振时的最大振幅越小，共振峰越宽

错误做法:

认为对于所有阻尼程度，最大振幅都精确发生在 $f_{d} = f_{0}$ 处

原因:

忽略了大阻尼系统的共振峰偏移

正确做法:

对于大阻尼，共振峰值频率会略低于固有频率 $f_{0}$

错误做法:

认为所有共振都是有害的

原因:

只考虑了破坏结构的共振例子，没有考虑技术应用中的共振

正确做法:

共振被有意应用在许多技术中，包括收音机调谐器、微波炉和乐器

6. 速查表

概念	核心性质	考试提示
自由振动	Oscillates at $f_{0}$ (natural frequency)	No external driving force
受迫振动	Oscillates at $f_{d}$ (driving frequency)	Continuous external driving force
共振	Maximum amplitude of oscillation	Occurs when $f_{d} \approx f_{0}$
轻阻尼	High, sharp peak at $f_{0}$	Small energy loss per cycle
大阻尼	Low, broad peak below $f_{0}$	Large energy loss per cycle

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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关于共振条件的选择题
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绘制不同阻尼的共振曲线
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现实世界中的共振例子

下一步

受迫振动与共振是CIE A-Level物理中许多其他主题的基础。你将在波力学中遇到的驻波，就是由入射波和反射波之间的共振形成的。共振也解释了地震中建筑物如何响应地震波，这是AS和A2考试中常见的考点。掌握共振曲线和阻尼效应对于选择题和结构化问答题都至关重要，这个概念在CIE历年真题中频繁出现。