# 受迫振动与共振

> CIE A-Level 物理 · 第18单元：振动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-forced-oscillations-and-resonance/

本模块介绍由外部周期性驱动力驱动系统产生的受迫振动，以及当驱动力频率与系统固有频率相等时发生的共振现象。我们将探讨共振曲线、阻尼效应及其实际应用。

**先修:** [自由振动与阻尼振动](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-free-damped-oscillations/)

## 学习目标

- 区分自由振动、阻尼振动和受迫振动
- 解释共振现象及其成因
- 绘制并解读不同阻尼程度的共振曲线
- 列举实际系统中有益共振和有害共振的例子

## 受迫振动与自由振动的对比

自由振动发生在系统受到初始扰动后，不受外部驱动力，自行振动的情况。自由振动始终以系统的**固有频率（$f_0$）**振动，由于阻尼作用，振幅会随时间减小。

受迫振动发生在系统受到持续的外部周期性驱动力作用、持续获得能量的情况。无论驱动力频率是多少，系统最终都会稳定在*驱动力频率*下振动，而非自身的固有频率。

**受迫振动** — 系统在持续的外部周期性驱动力驱动下，稳定在驱动力频率下振动的运动

*例:* 成年人每隔一段时间反复推动秋千上的孩子

**例题:** 一个收音机调谐电路被调整为接收频率为98 MHz的电台信号。请写出正确调谐时调谐电路的驱动力频率和固有频率。

1. 驱动力来自接收到的无线电广播信号，因此驱动力频率等于广播频率：
2. $$f_d = 98\ \text{MHz}$$
3. 为了让调谐电路检测到该信号，必须发生共振，这意味着它的固有频率必须等于驱动力频率：
4. $$f_0 = f_d = 98\ \text{MHz}$$

> **考试提示:** 选择题经常在此设陷阱：询问受迫振动的频率，请记住受迫振动的频率始终等于驱动力频率，而非固有频率。

## 共振现象

当驱动力频率等于（或非常接近）受迫系统的固有频率时，就会发生共振。此时，驱动力始终与系统运动同相位，因此每个周期都有最大能量传递到系统中，导致振动振幅达到最大。

**共振** — 受迫振动系统产生最大振幅响应的现象，对于轻阻尼系统，共振发生在驱动力频率等于系统固有频率时

*例:* 按秋千的固有频率推秋千，让秋千达到最大高度

**例题:** 解释为什么士兵过固有频率为1.5 Hz的悬索桥时，会被要求便步走。

1. 当士兵齐步走时，他们会产生频率等于踏步频率的周期性驱动力。
2. 如果踏步频率等于桥梁的固有频率1.5 Hz，就会发生共振。
3. 共振时，桥梁振动的振幅会变得非常大，可能会造成灾难性的结构损坏。
4. 便步走意味着每个士兵产生的驱动力不同步，因此不会发生共振。

> **tip**
>
> 共振时，不仅振幅达到最大，驱动力到系统的能量传递也达到最大。

## 共振曲线与阻尼效应

共振曲线绘制了受迫振动振幅随驱动力频率的变化关系。曲线形状很大程度上取决于系统的阻尼程度。

| 阻尼程度 | 最大振幅 | 峰值位置 | 峰值宽度 |
| --- | --- | --- | --- |
| 零/轻阻尼 | 极大 | 非常接近 $f_0$ | 窄 |
| 中等阻尼 | 中等 | 略低于 $f_0$ | 中等宽度 |
| 大阻尼 | 小 | 显著低于 $f_0$ | 宽 |

**例题:** 比较固有频率同为$f_0$的轻阻尼和大阻尼弹簧质量系统的共振曲线。

1. 1. y轴标注*振幅*，x轴标注*驱动力频率（$f_d$）*，在x轴上标出$f_0$。
2. 2. 对于轻阻尼系统：画一个尖锐的高峰，中心几乎正好在$f_0$处。当$f_d$远离$f_0$时，振幅迅速下降。
3. 3. 对于大阻尼系统：画一个更低、更宽的峰，位置略向$f_0$左侧偏移。所有驱动力频率下的振幅都低于轻阻尼系统。

> **考试提示:** CIE经常要求比较共振曲线，请记住：阻尼越大，共振峰越低、越宽。

## 共振的实际例子

- **有益共振**：收音机调谐器（调整固有频率匹配广播频率以选择电台）、微波炉（频率匹配水分子固有频率加热食物）、乐器（音板共振放大声音）
- **有害共振**：风或交通引起的桥梁振动、地震中的建筑物振动（如果地震频率匹配建筑物固有频率）、飞机机翼振动导致结构损坏

**概念自测**

测试你对核心概念的理解：

1. 微波炉加热食物的主要原因是：

   - 微波比周围空气更热
   - 微波频率匹配水分子的固有频率

   *解析:* 正确！这是有益共振的例子，最大能量传递到水分子中加热食物。

2. 当未发生共振时，受迫振动系统的振动频率是多少？

   - 固有频率 $f_0$
   - 驱动力频率 $f_d$

   *解析:* 正确！无论是否发生共振，受迫振动始终以驱动力频率振动。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为受迫振动始终以系统的固有频率振动
  - 原因: 混淆了自由振动和受迫振动；只有自由振动才以固有频率振动
  - 正确做法: 无论固有频率是多少，受迫振动始终以外部驱动力的频率振动
- **错误做法:** 画出高阻尼的共振峰比低阻尼的更高、更尖锐
  - 原因: 颠倒了阻尼对振幅和峰宽的影响
  - 正确做法: 阻尼越大，共振时的最大振幅越小，共振峰越宽
- **错误做法:** 认为对于所有阻尼程度，最大振幅都精确发生在 $f_d = f_0$ 处
  - 原因: 忽略了大阻尼系统的共振峰偏移
  - 正确做法: 对于大阻尼，共振峰值频率会略低于固有频率 $f_0$
- **错误做法:** 认为所有共振都是有害的
  - 原因: 只考虑了破坏结构的共振例子，没有考虑技术应用中的共振
  - 正确做法: 共振被有意应用在许多技术中，包括收音机调谐器、微波炉和乐器

## 速查表

| 概念 | 核心性质 | 考试提示 |
| --- | --- | --- |
| 自由振动 | Oscillates at $f_0$ (natural frequency) | No external driving force |
| 受迫振动 | Oscillates at $f_d$ (driving frequency) | Continuous external driving force |
| 共振 | Maximum amplitude of oscillation | Occurs when $f_d \approx f_0$ |
| 轻阻尼 | High, sharp peak at $f_0$ | Small energy loss per cycle |
| 大阻尼 | Low, broad peak below $f_0$ | Large energy loss per cycle |

## 下一步

受迫振动与共振是CIE A-Level物理中许多其他主题的基础。你将在波力学中遇到的驻波，就是由入射波和反射波之间的共振形成的。共振也解释了地震中建筑物如何响应地震波，这是AS和A2考试中常见的考点。掌握共振曲线和阻尼效应对于选择题和结构化问答题都至关重要，这个概念在CIE历年真题中频繁出现。

- [理想气体](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-overview/)
- [气体定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-gas-laws/)
- [理想气体状态方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u19-ideal-gas-equation-of-state/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u18-forced-oscillations-and-resonance/